Colégio Naval 1981 ⇒ Questão 04 - CN - 1981 Tópico resolvido

[petrasMOD]

4) [tex3]\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}[/tex3] é igual a:
a) 1 + [tex3]\sqrt{7}[/tex3] b) 1 + [tex3]\sqrt{6}[/tex3] c) 1 + [tex3]\sqrt{5}[/tex3] d) 1 + [tex3]\sqrt{3}[/tex3] e) 1 + [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

[ProfLaplace]

[tex3]10+6\sqrt{3}=1+3.1.\sqrt{3}+3.1.\sqrt{3}^2+3\sqrt{3}=1^3+3.1^2.\sqrt{3}+3.1.\sqrt{3}^2+\sqrt{3}^3=(1+\sqrt{3})^3.[/tex3]
Logo [tex3]\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}=\sqrt[3]{(1+\sqrt{3})^3}=1+\sqrt{3}.[/tex3]
Letra D.

[IasminSS]

[tex3]10+6\sqrt{3}=1+3.1.\sqrt{3}+3.1.\sqrt{3}^2+3\sqrt{3}=1^3+3.1^2.\sqrt{3}+3.1.\sqrt{3}^2+\sqrt{3}^3=(1+\sqrt{3})^3.[/tex3]
Logo [tex3]\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}=\sqrt[3]{(1+\sqrt{3})^3}=1+\sqrt{3}.[/tex3]
Letra D.

Bom dia! Poderia me explicar qual fatoração você usou na primeira igualdade? Que é:
[tex3]10+6\sqrt{3}=1+3.1.\sqrt{3}+3.1.(\sqrt{3})^2+3\sqrt{3}[/tex3]. Depois dessa parte eu entendi perfeitamente.

[petrasMOD]

@IasminSS

Veja que as alternativas são do tipo [tex3]1 + \sqrt{a}[/tex3]

Portanto teríamos [tex3]\sqrt[3]{10+6\sqrt3} = 1+{\sqrt a}\implies(^3)\\
10+6\sqrt3 = 1^3+3\cdot 1^2\cdot \sqrt a+3\(\sqrt a\)^2\cdot 1+\(\sqrt a\)^3\\
10+6\sqrt3 = 1+3\sqrt a+3a+a\sqrt a\\
\underbrace{10}+\underline{6\sqrt3} = \underbrace{1+3a}+ \underline{(3+a)\sqrt a}\\
10 = 3a+1 \implies a = 3\\
Substituindo: 6\sqrt3 = (3+3)\sqrt3 = 6\sqrt3 \checkmark\\
\therefore \sqrt[3]{10+6\sqrt3} = 1+{\sqrt a}=1+\sqrt3_{//} [/tex3]

[ProfLaplace]

IasminSS, tudo bem?
Nessa primeira igualdade não usei fatoração.
Apenas desmembrei os termos de forma "inteligente".
[ Se vc quiser se convencer de que os dois lados são iguais de fato, vc pode simplificar [tex3]1+3.1.\sqrt{3}+3.1.(\sqrt{3})^2+3\sqrt{3},[/tex3] e vai ver que voltaria para [tex3]10+6\sqrt{3}.[/tex3] ]
Desmembrei de forma a aparecer uma expressão do tipo [tex3]a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.[/tex3]
Depois que eu fatorei isso para [tex3](a+b)^3.[/tex3]
Caso vc não tivesse tido a sacada de desmembrar dessa forma, vc teria então que fazer do jeito que o Petras fez.
Há esses 2 caminhos.