Vol. 05 - Combinatória e Probabilidade 2013 ⇒ 069 - FME 05 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

69. (UF-CE) De quantas maneiras podemos distribuir doze livros distintos entre quatro alunos de
modo que cada um receba três livros?
a) 369 600
b) 30 600
c) 10 000
d) 220
e) 144

Resposta

---

a)

[Kin07]

Resolução:

Vamos dividir os 12 livros entre os 4 alunos:

O primeiro aluno pode receber 3 livros de 12 maneiras:

[tex3] \displaystyle \sf \binom{12}{3} = \dfrac{12!}{3!(12-3)!} = \dfrac{12!}{3!9!} = \dfrac{ 12\times 11 \times10 \times \cancel{9!} }{3 \times 2 \times 1 \times \cancel{9!}} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \binom{12}{3} = \dfrac{ 12\times 11 \times10 }{6 } = 2 \times 11 \times 10 = \colorbox{#FFBF00}{220} [/tex3]

O segundo aluno pode receber 3 livros dos 9 restantes:

[tex3] \displaystyle \sf \binom{9}{3} = \dfrac{9!}{3!(9-3)!} = \dfrac{9!}{3!6!} = \dfrac{ 9 \times 8 \times 7 \times \cancel{6!}}{3\times 2 \times 1 \times \cancel{6!}} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \binom{9}{3} = \dfrac{ 3 \times 4 \times 7 }{1\times 1 \times 1 } = 3\times 4 \times 7 = \colorbox{#FF7E00}{84} [/tex3]

O terceiro aluno pode receber 3 livros dos 6 restantes:

[tex3]\displaystyle \sf \binom{6}{3} = \dfrac{6!}{3!(6-3)!} = \dfrac{6!}{3!3!} = \dfrac{ 6 \times 5 \times 4\times \cancel{3!}}{3\times 2 \times 1 \times \cancel{3!} } [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf \binom{6}{3} = \dfrac{ 6 \times 5 \times 4 }{6 } = 5 \times 4 = \colorbox{#FFE135}{84} [/tex3]

O quarto aluno recebe os 3 livros restantes:

[tex3]\displaystyle \sf \binom{3}{3} = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = \dfrac{\cancel{3!}}{\cancel{3! }\times 1} = \dfrac{1}{1} = \colorbox{#DEB887}{1} [/tex3]

Calcular o número total de maneiras:

[tex3] \displaystyle \sf \text{Total de Maneiras} = \binom{12}{3} \times \binom{9}{3} \times \binom{6}{3} \times \binom{3}{3} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \text{Total de Maneiras} = 220 \times 84 \times 20 \times 1 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \text{Total de Maneiras} = 18\, 480 \times 20 [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \text{Total de Maneiras} = \colorbox{#FFA700}{$ \sf 396\,600 $} [/tex3]

O número de maneiras de distribuir doze livros distintos entre quatro alunos de modo que cada um receba três livros é: 396.600.

Alternativa correta é a letra A.