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140. (Fatec-SP) Uma turma tem 25 alunos, nos quais 40% são meninas. Considerem todos os grupos de dois alunos que podem ser formados com os alunos dessa turma. Escolhendose ao acaso um dos grupos formados, a probabilidade de que ele seja composto por uma menina e um menino é de:
a)[tex3]\frac{1}{6}[/tex3]
b)[tex3]\frac{1}{5}[/tex3]
c)[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
d)[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
e)[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Resolução:

O número de meninas na turma = 40/100 x 25 = 10 meninas

O número de meninos na turma: 25 alunos - 10 meninas = 15 meninos.

O número total de grupos de 2 alunos que podem ser formados a partir de 25 alunos é dado pela combinação:

[tex3]\displaystyle \sf Total ~ de grupos = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!} =\dfrac{25!}{2! \cdot (25-2)!} [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf Total ~ de grupos = \dfrac{25!}{2! \cdot 23!} = \dfrac{25 \times 24 \times\cancel{ 23!}}{2 \times \cancel{23!}} = \dfrac{25 \times 24}{2 } [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf Total ~ de grupos = \dfrac{60}{2 } = \colorbox{#C9A0DC}{300} [/tex3]

Formar um grupo com uma menina e um menino:

Escolher 1 menina entre 10:

[tex3] \displaystyle \sf Menina = \binom{10}{1} = \colorbox{#FEFE33}{ 10} [/tex3]

Escolher 1 menino entre 15:

[tex3] \displaystyle \sf Menino = \binom{15}{1} = \colorbox{#FFA089}{ 15} [/tex3]

Total de grupos menina-menino:

[tex3]\displaystyle \sf Total = 10 \cdot 15 = \colorbox{#F3E5AB}{ 15} [/tex3]

Calcular a probabilidade:

[tex3] \displaystyle \sf P_{(\text{menina e menino})} = \dfrac{150}{300} = \colorbox{#FFCC00}{ $ \sf \dfrac{1}{2}$ } [/tex3]

A probabilidade é de 1/2, que corresponde à opção E.