Pré-Vestibular ⇒ (FGV 2026/1) Lógica Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Pedro tem 17 covas em linha reta e igualmente espaçadas para plantio de algumas palmeiras imperiais. Pedro é muito cuidadoso com a questão da estética: quer plantar uma quantidade Q de palmeiras, maior do que 0 (zero) mas menor do que 17 e de tal forma que as quantidades de covas vazias antes da primeira palmeira, depois da última palmeira e entre duas palmeiras plantadas consecutivas (quando for o caso) sejam iguais a N. Por exemplo, se forem plantadas Q=2 palmeiras, haverá N=5 covas vazias antes da primeira palmeira, N=5 covas vazias entre a primeira e a segunda palmeiras e N=5 covas vazias após a segunda palmeira.

a) Expresse o valor de N em função de Q.

Resposta

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[tex3]\frac{17-Q}{Q+1}[/tex3]

b) Quantos são os possíveis valores de Q satisfazendo as condições desejadas por Pedro?

Resposta

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4

[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

• Pedro possui 17 covas.

• Pedro planta Q palmeiras (com [tex3] \sf 0 < Q < 17[/tex3] ) de modo que:

• Antes da primeira palmeira, há N covas vazias.

• Entre cada par de palmeiras consecutivas há N covas vazias. Há Q palmeiras, há [tex3]\sf Q -1 [/tex3] espaços entre elas.

• Depois da última palmeira, há N covas vazias.

Resolução:

a) Expresse o valor de N em função de Q.

• O número total de covas17 é igual à soma das covas ocupadas pelas palmeiras Q e das covas vazias (N em seus respectivos locais).

• O número total de "blocos" de covas vazias é:

• (bloco antes) + Q-1 (blocos entre) + 1 (bloco depois) = 1 + Q - 1 + 1 = Q + 1 blocos de N covas vazias.

• O número total de covas vazias é, portanto, [tex3]\displaystyle \sf (Q + 1) \times N[/tex3].

A equação para o total de covas:
[tex3] \displaystyle \sf \text{Total de Covas} = (\text{Número de Palmeiras}) + (\text{Total de Covas Vazias}) [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf 17 = Q + (Q + 1)N [/tex3]
[tex3] \displaystyle \sf (Q+1) \cdot N = 17 -Q [/tex3]
[tex3]\displaystyle \sf \colorbox{#FFBF00}{$\sf N = \dfrac{17-Q}{Q+1} $} [/tex3]

b) Quantos são os possíveis valores de Q satisfazendo as condições desejadas por Pedro?

[tex3] \Large \displaystyle \sf
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Q & 17 - Q & Q + 1 & N = \frac{17 - Q}{Q + 1} & N \text{ é inteiro?} \\ \hline
1 & 16 & 2 & 8 & \color{Red} \text{ Sim} \\ \hline
2 & 15 & 3 & 5 & \color{Red} \text{Sim} \\ \hline
3 & 14 & 4 & 3.5 & \text{Não} \\ \hline
4 & 13 & 5 & 2.6 & \text{Não} \\ \hline
5 & 12 & 6 & 2 & \color{Red} \text{Sim} \\ \hline
6 & 11 & 7 & 1.57 & \text{Não} \\ \hline
7 & 10 & 8 & 1.25 & \text{Não} \\ \hline
8 & 9 & 9 & 1 & \color{Red} \text{Sim} \\ \hline
9 & 8 & 10 & 0.8 & \text{Não} \\ \hline
10 & 7 & 11 & 0.63 & \text{Não} \\ \hline
11 & 6 & 12 & 0.5 & \text{Não} \\ \hline
12 & 5 & 13 & 0.38 & \text{Não} \\ \hline
13 & 4 & 14 & 0.28 & \text{Não} \\ \hline
14 & 3 & 15 & 0.2 & \text{Não} \\ \hline
15 & 2 & 16 & 0.125 & \text{Não} \\ \hline
16 & 1 & 17 & 0.058 & \text{Não} \\ \hline
\end{array} [/tex3]

São 4 os possíveis valores de Q: {1, 2, 5, 8}.

[ALANSILVA]

@Kin07 esse [tex3]Q-1[/tex3] é qual espaço?

[Kin07]

@Kin07 esse [tex3]Q-1[/tex3] é qual espaço?

Se plantarmos Q palmeiras, haverá Q-1 espaços entre as palmeiras.