Pré-Vestibular ⇒ (FGV 2026/1 Discursiva) Polinômio Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Isabela está explorando aproximações de funções e quer encontrar um polinômio de segundo grau p(x) para aproximar a função trigonométrica f(x) = cos(x) no intervalo [−90, 90], onde x é o ângulo em graus. Para que a aproximação seja precisa em pontos-chave, o polinômio p(x) deve ter o mesmo valor que cos(x) nos pontos x=−90, x= 0 e x= 90. Determine a função quadrática p(x) que satisfaz essas condições.

Resposta

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[tex3]p(x)=-\frac{1}{8100}(x-90)(x+90)[/tex3]

[petrasMOD]

@ALANSILVA,
[tex3]p(x) = ax^2+bx+c[/tex3]
Para x= 0^o, p(0) = cos 0^o = 1
Para x = 90^o, p(90) = cos 90^o = 0
Para x = -90^o, p(-90) = cos(-90^o) = 0

Substituir [tex3] x= 0, p(x) = a(0)^2+b(0)+c = 1 \implies c = 1 \\\\
Para~ x = 90: a(90)^2+b(90)+c = 0 \implies 8100a+90b = -1(I)\\\\
Para ~x = -90: a(-90)^2+b(-90)+c = 0 \implies 8100a-90b = -1(II)\\\\
(I)+(II): a = -\frac{1}{8100} \\\\
De(I): 8100(-\frac{1}{8100})+90b = -1 \implies b = 0\\\\\
\therefore p(x) = \frac{1}{8100}x^2+1 = \frac{1}{8100}(x^2-8100) = \boxed{-\frac{1}{8100}(x-90)(x+90)_{//}}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá, @petrasMOD.

Na resposta final sua, faltou o sinal negativo, pois você encontrou [tex3]a = -\frac{1}{8100}[/tex3]

Pra ilustrar a situação apresentada (com [tex3]a[/tex3] negativo), veja como fica os gráficos de [tex3]y=\sen(x)[/tex3] e de [tex3]p(x)[/tex3] encontrada (clique em "[tex3]\bf \class{ui-corner-all}{\colorbox{green}{▶ Executar}}[/tex3]" abaixo):

[petrasMOD]

@cajuADMIN,
grato pelo alerta..corrigido