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Na figura ABCD é um retângulo. Se BQ = 6m, encontre o valor inteiro máximo de PQ

No triângulo retângulo ADC: Se [tex3]\angle ACD = 2\alpha[/tex3], então o ângulo complementar é [tex3] \angle CAD = 90^\circ - 2\alpha[/tex3].
[tex3](BC \parallel AD[/tex3]): O ângulo [tex3]\angle BCA[/tex3] é alterno interno de [tex3]\angle CAD[/tex3], logo [tex3]\angle BCA = 90^\circ - 2\alpha[/tex3].
No vértice A:[tex3] \angle BAQ = \alpha[/tex3],
[tex3]\therefore \angle QAC = 180^o-(90^o+9-^o-2\alpha+\alpha = \alpha= \angle PAC[/tex3]
Como [tex3]\angle BAC[/tex3] é complementar a [tex3]\angle CAD[/tex3], temos [tex3]\angle BAC = 90^\circ - (90^\circ - 2\alpha) = 2\alpha[/tex3].
No triângulo retângulo [tex3]APH[/tex3] (H é reto):O ângulo em A é [tex3]\alpha[/tex3]. Portanto, o ângulo [tex3]\angle APH = 90^\circ - \alpha[/tex3].
[tex3]\angle BPQ[/tex3] é oposto pelo vértice a [tex3]\angle APH.[/tex3]
Portanto,[tex3] \angle BPQ = 90^\circ - \alpha[/tex3].
[tex3]\angle BAQ = \alpha, \implies \angle BQP = 90^\circ - \alpha[/tex3].
[tex3]\angle BPQ = 90^\circ - \alpha: \angle BQP = 90^\circ - \alpha,
\therefore \triangle BPQ_{isosc} [/tex3] de base PQ
BP = BQ = 6
Lei dos Senos no triângulo[tex3] BPQ:\frac{PQ}{\sen(\angle PBQ)} = \frac{BQ}{\sen(\angle BPQ)}[/tex3]
[tex3]\angle PBQ = 180^\circ - (90^\circ - \alpha) - (90^\circ - \alpha) = 2\alpha[/tex3]
Aplicando os valores:[tex3]\frac{PQ}{\sen(2\alpha)} = \frac{6}{\sen(90^\circ - \alpha)} \implies\frac{PQ}{2 \sen \alpha \cos \alpha} = \frac{6}{\cos \alpha} \therefore PQ = 12 \sen \alpha[/tex3].
[tex3]2\alpha[/tex3] é um ângulo agudo do triângulo retângulo ADC
[tex3]:2\alpha < 90^\circ \implies \alpha < 45^\circ.[/tex3]
[tex3]sen 45^o =\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,7 \implies PQ < 12 \cdot 0,7 \approx 8,5[/tex3].
O maior valor inteiro possível para PQ = 8.

Consegui entender cara, muito obrigado!!

@HeitorSntrs,
valide as soluções se resolvram suas dúvidas