Concursos Públicos ⇒ (SEDUC CE 2018) Somatório Tópico resolvido

[cicero444]

O valor da soma [tex3]\sum_{p=0}^{n}[/tex3][tex3]C_{n}^{p}[/tex3], onde [tex3]C_{n}^{p}[/tex3] significa combinação de [tex3]n[/tex3] elementos tomados [tex3]p[/tex3] a [tex3]p[/tex3], é igual a

a) [tex3]2n[/tex3]
b) [tex3]2^{n}[/tex3]
c) [tex3]\frac{2^{n}}{n}[/tex3]
d) [tex3]n![/tex3]

Resposta

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gabarito alternativa correta B

[Kin07]

Resolução:
O Teorema Binomial afirma que, para quaisquer números reais x e y e qualquer número inteiro não negativo n.
[tex3]\displaystyle \sf (x+y)^n = \sum_{p=0}^{n} C_{n}^{p} x^{n-p} y^p[/tex3]

Onde [tex3] \textstyle \sf \text {$ \sf C_{n}^{p} $ } [/tex3] é o coeficiente binomial, a combinação de n elementos tomados p a p, dado por:

[tex3] \displaystyle \sf C_{n}^{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf (1+1)^n = \sum_{p=0}^{n} C_{n}^{p} (1)^{n-p} (1)^p[/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf (2)^n = \sum_{p=0}^{n} C_{n}^{p} (1)(1)[/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf 2^n = \sum_{p=0}^{n} C_{n}^{p} [/tex3]

O valor da soma é: [tex3] \displaystyle \sf \colorbox{#FFBF00}{$ \sf \sum_{p=0}^{n} C_{n}^{p} = 2^n $} [/tex3]

A alternativa correta é a letra B.