Concursos Públicos ⇒ (CESPE-seduc ce 2013) função derivada Tópico resolvido

[cicero444]

A respeito de uma função f(x) tal que g(x) = 3[tex3]x^{2}[/tex3] - 6x - 9 é a função derivada de f, assinale a opção correta.
a)x = 3 é ponto de máximo local de f.
b)x = 1 é ponto de inflexão de f.
c) Se f(0) = 0, então f(x) = [tex3]\frac{1}{3}[/tex3][tex3]x^{3}[/tex3] - 3[tex3]x^{2}[/tex3] + 9x.
d) f possui três pontos críticos.
e) x = 1 é ponto de mínimo local de f.


alternativa correta e a B.

[cicero444]

@cicero444,
Os pontos críticos de f(x) ocorrem onde sua derivada f'(x) = g(x) é igual a zero:

[tex3]3x^2-6x-9 = 0 \implies x^2-3x-3 = 0 \\
\therefore x_1 = 3, x_2=-1[/tex3]
Portanto, a função possui dois pontos críticos, o que invalida a opção (d).

Para classificar os pontos críticos, utilizamos a segunda derivada f''(x), que é a derivada de g(x):

[tex3]f"(x) = g'(x) = 6x-6[/tex3]

Substituindo os valores encontrados:
Para x = 3 : f"(3) =6(3) - 6 = 12. Como f"(3) > 0, é um mínimo local (invalida a opção a).
Para x = -1 : f"(-1) = 6(-1) + 3 = -3. Como f"(-1) < 0, é um máximo local.

O ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, o que é testado igualando a segunda derivada a zero:
6x - 6 = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] 6x = 6 [tex3]\rightarrow x = 1[/tex3]
Como f"(x) é uma reta que cruza o eixo x em x = 1 , há mudança de sinal (e consequentemente de concavidade). f" x < 0 para x > 1 (concavidade para baixo) e para f"(x) > 0 para x >1 (concavidade para cima). Portanto, x = 1 é um ponto de inflexão, confirmando a opção (b) e invalidando a opção (e).

Para a opção (c), calculamos a integral de g(x)
[tex3]f(x) = \int(3 x^2-6x-9) \,dx = x^3-3x^2-9x+C[/tex3]
Se f(0) = 0, então C = 0. A função correta seria [tex3]f(x) = x^3-6x-9 [/tex3], o que torna a opção (c) incorreta.