Concursos Públicos ⇒ (UECE-Seduc 2018) função e sequencia de fibonacci Tópico resolvido

[cicero444]

Considerando as funções reais de variável real são:
[tex3]f(x) = x + \frac{1}{x}[/tex3] e [tex3]g(x) = \frac{x-3}{x-2}[/tex3].
. Os domínios e os conjuntos imagem (ou conjunto de valores) destas funções são identificados por: Dom(f), Im(f), Dom(g) eIm(g) respectivamente.
. R representa o conjunto dos números reais.
A sequência de números reais [tex3](x_{n})[/tex3] definida por [tex3]x_{1} = x_{2} = 1[/tex3] e para [tex3]n > 2,\, x_{n} = x_{n-1} + x_{n-2}[/tex3] é chamada de sequência de Fibonacci em homenagem a Leonardo de Pisa (1170-1250), filho de Bonaccio, e por isso apelidado de Fibonacci.
Sobre a sequência de Fibonacci, é correto afirmar que

A) [tex3]\sum_{n=1}^{n}x_{2i-1} = x_{2n} - 1[/tex3].
B) dois quaisquer de seus termos são primos entre si.
C) [tex3]\sum_{n=1}^{12}x_{n} = 376[/tex3].
D) existem três termos consecutivos todos ímpares.


gabarito alyernativa correta e a C

[cicero444]

@cicero444,

Para analisarmos a sequência de Fibonacci ([tex3]x_n[/tex3]), vamos primeiro listar os seus primeiros termos:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

A) [tex3]\sum_{i=1}^{n} x_{2i-1} = x_{2n} - 1[/tex3]
Esta é uma identidade conhecida de Fibonacci: a soma dos primeiros n termos de ordem ímpar.
Para n=1:[tex3] x_1 = 1[/tex3]. Pela fórmula: [tex3]x_2 - 1 = 1 - 1 = 0[/tex3]. (Falso)
Para n=2: [tex3]x_1 + x_3 = 1 + 2 = 3[/tex3]. Pela fórmula: [tex3]x_4 - 1 = 3 - 1 = 2[/tex3]. (Falso)
A identidade correta seria [tex3]\sum_{i=1}^{n} x_{2i-1} = x_{2n}.[/tex3]

B) Dois quaisquer de seus termos são primos entre si
Para ser falsa, basta encontrar um contraexemplo.[tex3]x_3 = 2~ e~ x_6 = 8[/tex3].
O mdc(2, 8 ) = 2.[tex3]x_4 = 3~ e~ x_8 = 21[/tex3]. O mdc(3, 21) = 3.
Regra geral: mdc[tex3](x_m, x_n) = x_{\text{mdc}(m, n)}[/tex3].
Portanto, termos cujos índices não são primos entre si podem ter um MDC maior que 1. (Falso)

C) [tex3]\sum_{n=1}^{12} x_n = 376[/tex3]
Existe uma propriedade que diz que a soma dos n primeiros termos é [tex3]\sum_{i=1}^{n} x_i = x_{n+2} - 1[/tex3].
Para n=12, a soma será:[tex3]S_{12} = x_{14} - 1[/tex3]
Vamos calcular os termos até o [tex3]x_{14}[/tex3]:
[tex3] x_1=1, x_2=1, x_3=2, x_4=3, x_5=5, x_6=8, x_7=13, x_8=21, x_9=34, x_{10}=55, x_{11}=89, x_{12}=144, x_{13}=233, x_{14}=377[/tex3]
Aplicando a fórmula:[tex3]S_{12} = 377 - 1 = 376[/tex3] Correta.

D) Existem três termos consecutivos todos ímpares
A sequência segue o padrão de paridade: Ímpar, Ímpar, Par, Ímpar, Ímpar, Par...[tex3]x_1(I), x_2(I), x_3(P) x_4(I), x_5(I), x_6(P)[/tex3]
Isso ocorre porque a soma de dois ímpares é sempre par (I + I = P), e a soma de um par com um ímpar é sempre ímpar (P + I = I). Portanto, nunca haverá três ímpares seguidos. (Falso)