Olimpíadas ⇒ Aritmética Tópico resolvido

[botelho]

Determine inteiros [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] tais que:

[tex3](2+1)(2^2+1)(2^{2^2}+1)(2^{2^3}+1)\cdot\ldots\cdot(2^{2^{99}}+1)=2^a +b[/tex3]

Resposta

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[tex3]a=2^{100}[/tex3]; [tex3]b=-1[/tex3]

[ProfLaplace]

O segredo pra essa questão é lembrar da fatoração por diferença de quadrados.
Veja a sequência que vou fazer.
[tex3]x^2-1=x^2-1^2=(x-1)(x+1).[/tex3]
[tex3]x^{2^2}-1=x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1).[/tex3]
[tex3]x^{2^3}-1=x^8-1=(x^4)^2-1^2=(x^4-1)(x^4+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^{2^2}+1).[/tex3]
Vamos mais uma:
[tex3]x^{2^4}-1=x^{16}-1=(x^8)^2-1^2=(x^8-1)(x^8+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)=[/tex3]
[tex3](x-1)(x+1)(x^2+1)(x^{2^2}+1)(x^{2^3}+1).[/tex3]

Olhando pra tudo isso vc consegue perceber um padrão.
Vamos tentar generalizar para [tex3]k[/tex3] natural:
[tex3]x^{2^k}-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^{2^2}+1)(x^{2^3}+1)...(x^{2^{k-2}}+1)(x^{2^{k-1}}+1).[/tex3]
Vamos trabalhar com essa generalização agora.
OBS: Eu deduzi ela por meio do "padrão" enxergado. Vc pode, por exemplo, usar indução para provar isso rigorosamente se quiser. Vou pular a indução, mas se quiser que eu faça comenta depois.

Agora para finalizar o exercício, pegue a igualdade que chegamos e faça [tex3]k=100[/tex3] e [tex3]x=2:[/tex3]
[tex3]2^{2^{100}}-1=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^{2^2}+1)(2^{2^3}+1)...(2^{2^{98}}+1)(2^{2^{99}}+1).[/tex3]
[tex3]2^{2^{100}}-1=(2+1)(2^2+1)(2^{2^2}+1)(2^{2^3}+1)...(2^{2^{98}}+1)(2^{2^{99}}+1).[/tex3]
Agora é só comparar o lado esquerdo com disso com [tex3]2^a+b.[/tex3]
Basta tomar [tex3]a=2^{100}[/tex3] e [tex3]b=-1[/tex3] que a coisa encaixa!
OBS Importante: essa opção de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] que citei certamente funciona, mas não é a única. Existem outras opções. Na verdade, existem infinitas opções para [tex3]a[/tex3] e [tex3]b.[/tex3] Seria interessante que o enunciado tivesse dado alguma condição extra pra limitar as opções e deixar a coisa menos vaga.