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Na figura a seguir, ABCD é um quadrado. Sabendo que AD = EF = 1 dm. determine a medida DE.

O problema parece simples, mas é trabalhoso...
Temos então [tex3]AD=1, DE=x, EF=1, AB=1, BF=y.[/tex3]
Como BA é paralelo à DC, segue que podemos usar o Teorema de Tales (as transversais são AE e BE).
Temos então:
[tex3]\frac{FE}{BF}=\frac{DE}{AD} \Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{x}{1} \Rightarrow y=\frac{1}{x}.[/tex3]
Vamos também fazer pitágoras em ABE:
[tex3](y+1)^2=1^2+(x+1)^2 \Rightarrow y^2+2y+1=x^2+2x+2 \Rightarrow y^2+2y=x^2+2x+1.[/tex3]
Troque [tex3]y=\frac{1}{x}[/tex3] na equação acima:
[tex3]\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}=x^2+2x+1.[/tex3]
Multiplique tudo por [tex3]x^2:[/tex3]
[tex3]1+2x=x^4+2x^3+x^2 \Rightarrow x^4+2x^3+x^2-2x-1=0.[/tex3]
A partir de agora a coisa encrenca um pouco, pois essa equação é chata de resolver.
A primeira forma seria fatorar isso num produto de equações do segundo grau (depois se quiser eu faço dessa forma para vc).
Uma segunda forma seria tentar um macetezinho de somar algo de ambos os lados.
Vou fazer da segunda forma.
Primeiro observe que:
[tex3](x^2+x+1)^2=(x^2)^2+x^2+1^2+2(x^3+x^2+x)=x^4+x^2+1+2x^3+2x^2+2x=x^4+2x^3+3x^2+2x+1.[/tex3]
Vamos tentar adaptar nossa equação para cair nisso.
Pegue nossa equação [tex3]x^4+2x^3+x^2-2x-1=0[/tex3] e some [tex3](2x^2+4x+2)[/tex3] de cada lado, para obter
[tex3]x^4+2x^3+3x^2+2x+1=2x^2+4x+2 \Rightarrow (x^2+x+1)^2=2(x^2+2x+1) \Rightarrow[/tex3]
[tex3](x^2+x+1)^2=2(x+1)^2 \Rightarrow (x^2+x+1)^2=[\sqrt{2}(x+1)]^2.[/tex3]
Observe que [tex3]DE=x,[/tex3] e por uma análise do desenho devemos ter obrigatoriamente [tex3]0<x<1.[/tex3]
Obs: [tex3]x<1[/tex3] pois, no triângulo DFE, o cateto [tex3]x[/tex3] deve ser menor que a hipotenusa [tex3]1.[/tex3]
Sendo [tex3]0<x<1,[/tex3] temos [tex3]x^2+x+1>0[/tex3] e [tex3]x+1>0.[/tex3]
Vamos agora tirar a raiz quadrada da equação [tex3](x^2+x+1)^2=[\sqrt{2}(x+1)]^2.[/tex3]
Como já mostrei que [tex3]x^2+x+1>0[/tex3] e [tex3]x+1>0,[/tex3] podemos pular a etapa e colocar o módulo ao tirar a raiz.
Assim teremos [tex3]x^2+x+1=\sqrt{2}(x+1)=\sqrt{2}x+\sqrt{2} \Rightarrow x^2+(1-\sqrt{2})x+(1-\sqrt{2})=0.[/tex3]
Só fazer Bháskara para terminar.
[tex3]\Delta=(1-\sqrt{2})^2-4(1-\sqrt{2})=2\sqrt{2}-1[/tex3] (faça essa conta vc mesmo pra verificar).
Assim,
[tex3]x=\frac{-1+\sqrt{2}\pm\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}.[/tex3]
Ainda precisamos descobrir qual destes valores está entre 0 e 1, pois temos a condição [tex3]0<x<1.[/tex3]
Vou começar provando que [tex3]x_1=\frac{-1+\sqrt{2}-\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}[/tex3] é negativo.
Isso será verdade se, e somente se, [tex3]\sqrt{2\sqrt{2}-1}>-1+\sqrt{2}.[/tex3]
Como os dois lados são positivos, elevamos ambos ao quadrado: [tex3]2\sqrt{2}-1>3-2\sqrt{2}.[/tex3]
Ela é equivalente à [tex3]4\sqrt{2}>4[/tex3] ou [tex3]\sqrt{2}>1.[/tex3]
Esta última é obviamente verdadeira, e esse raciocínio prova que [tex3]x_1<0,[/tex3] de forma que esse valor deve ser descartado.
Falta então provar que [tex3]x_2=\frac{-1+\sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}[/tex3] atende a condição [tex3]0<x<1.[/tex3]
É fácil ver que ele é positivo, pois [tex3]-1+\sqrt{2}>0[/tex3] e [tex3]\sqrt{2\sqrt{2}-1}>0.[/tex3]
Para finalizar, basta checar que [tex3]x_2<1.[/tex3]
Isso acontece se, e somente se, [tex3]-1+\sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{2}-1}<2,[/tex3]
que ocorre se, e somente se, [tex3]\sqrt{2\sqrt{2}-1}<3-\sqrt{2}.[/tex3]
Os dois lados são positivos, então eleve ao quadrado:
[tex3]2\sqrt{2}-1<11-6\sqrt{2},[/tex3]
que é equivalente à [tex3]8\sqrt{2}<12,[/tex3] ou [tex3]2\sqrt{2}<3.[/tex3]
Esta última é verdade, pois se elevarmos ambos os lados ao quadrado, teremos [tex3]8<9.[/tex3]
Isso conclui todo o raciocínio, pois fica provado que [tex3]0<x_2<1.[/tex3]
Resposta do problema:
[tex3]DE=\frac{-1+\sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2} \, \, dm.[/tex3]

Não se esqueça de marcar o problema como Solucionado, caso ache que eu tenha te ajudado!

A resolução ajudou bastante, consegui compreender, mas caso também consiga demonstrar fatorando em um produto de equações do segundo grau eu agradeço.

Vamos lá então fatorar em um produto de equações do segundo grau.
Partimos daqui: [tex3]x^4+2x^3+x^2-2x-1=0.[/tex3]
Vamos usar o seguinte conceito: todo polinômio do quarto grau com coeficientes reais pode ser fatorado como produto de 2 polinômios do segundo grau com coeficientes reais também (a explicação para isso vem do Teorema das raízes complexas, mas não precisamos entrar nesses detalhes). Obs: isso vale sempre, mesmo que o polinômio do quarto grau não tenha nenhuma raiz real!
Então basicamente eu quero fatorar essa expressão da esquerda da seguinte forma:
[tex3]x^4+2x^3+x^2-2x-1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d).[/tex3]
Obs: veja que o coeficiente de [tex3]x^4[/tex3] é 1, de forma que pude tomar as duas expressões do segundo grau como tendo coeficiente dominante 1 também.
O que você precisa fazer para conseguir fatorar dessa forma é agora encontrar possíveis valores para [tex3]a,b,c,d.[/tex3]
Vamos distribuir o lado direito.
[tex3]x^4+2x^3+x^2-2x-1=x^4+cx^3+dx^2+ax^3+acx^2+adx+bx^2+bcx+bd=[/tex3]
[tex3]x^4+(a+c)x^3+(d+ac+b)x^2+(ad+bc)x+bd.[/tex3]
Agora utilizamos o princípio da igualdade de polinômios: se dois polinômios são idênticos para todo x, segue que seus coeficientes correspondentes são iguais.
Igualando os coeficientes, tiramos o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
a+c=2\\
d+ac+b=1\\
ad+bc=-2\\
bc=-1
\end{cases}[/tex3]
É um sistema chatinho de resolver.
Na prática nós precisamos de uma solução apenas, e não de todas.
Para tentar facilitar a resolução, podemos tentar forçar alguma hipótese extra.
Sem forçar nada até dá para resolver, mas dá muuito trabalho. Você até consegue manipular as equações para chegar numa equação biquadrada.
Mas vamos tentar supor que [tex3]a=b[/tex3] e [tex3]c=d,[/tex3] isto é, tentar supor que há uma certa "simetria" nessa fatoração.
Essa suposição pode facilitar bastante a resolução.
Temos que testar para ver se funciona.
Vamos reescrever o sistema com essa suposição:
[tex3]\begin{cases}
a+c=2\\
c+ac+a=1\\
ac+ac=-2\\
ac=-1
\end{cases}[/tex3]
Basicamente podemos tirar que [tex3]a+c=2[/tex3] e [tex3]ac=-1.[/tex3]
Aqui podemos fazer [tex3]c=2-a[/tex3] e trocar na segunda:
[tex3]a(2-a)=-1 \Rightarrow 2a-a^2=-1 \Rightarrow a^2-2a-1=0.[/tex3]
Fazendo o Bhaskara, chegamos em [tex3]a=1+\sqrt{2}[/tex3] ou [tex3]a=1-\sqrt{2}.[/tex3]
Não vai fazer muita diferença entre qual escolher.
Vamos pegar então [tex3]a=1+\sqrt{2}.[/tex3]
Assim, [tex3]a=b=1+\sqrt{2}.[/tex3]
Como [tex3]c=2-a,[/tex3] temos [tex3]c=2-(1+\sqrt{2})=1-\sqrt{2}.[/tex3]
Ou seja, [tex3]c=d=1-\sqrt{2}.[/tex3]
Conseguimos então achar uma solução para o sistema com a suposição de "simetria"!
Dessa forma, uma possível fatoração é:
[tex3]x^4+2x^3+x^2-2x-1=\left(x^2+(1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})\right)\left(x^2+(1-\sqrt{2})x+(1-\sqrt{2})\right).[/tex3]
Então teremos que resolver:
[tex3]\left(x^2+(1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})\right)\left(x^2+(1-\sqrt{2})x+(1-\sqrt{2})\right)=0.[/tex3]
Como o produto das duas resulta em 0, segue que um dos fatores deve ser zero.
Ou seja, [tex3]x^2+(1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})=0[/tex3] ou [tex3]x^2+(1-\sqrt{2})x+(1-\sqrt{2})=0.[/tex3]
Agora é só fazer dois Bhaskaras.
O primeiro Bhaskara vai ter delta negativo, então essa primeira equação não tem raízes reais.
O segundo Bhaskara vai dar dois valores: [tex3]x=\frac{-1+\sqrt{2}\pm\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}.[/tex3]
A partir daqui você vai proceder exatamente da mesma forma que fiz na solução anterior.
Basicamente é só checar qual dos valores obedece a condição [tex3]0<x<1.[/tex3]

Muito obrigado, fera!