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(ESAPP) - O valor de [tex3]k[/tex3] que verifica simultaneamente:

[tex3]\sec x =\frac{k}{2}[/tex3] e [tex3]\tg x = \sqrt{k-1}[/tex3]


não sei como resolver, penso que deve haver alguma forma de equação para descobrir esses valores.

Olá, @Grisha

Partindo da identidade fundamental da trigonometria [tex3]\sen^2(x)+\cos^2(x)=1[/tex3], podemos dividir ambos os lados por [tex3]\cos^2(x)[/tex3]:

[tex3]\frac{\sen^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}[/tex3]

Sabendo que [tex3]\tg(x)=\frac{\sen(x)}{\cos(x)}[/tex3] e que [tex3]\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}[/tex3], temos:

[tex3]\tg^2(x)+1 = \sec^2(x)[/tex3]

Agora podemos substituir os valores apresentados no enunciado na expressão acima:

[tex3]\(\sqrt{k-1}\)^2+1 = \(\frac{k}{2}\)^2[/tex3]

Como temos [tex3]\tg(x)=\sqrt{k-1}[/tex3], e o valor de [tex3]\tg(x)[/tex3] é um número real, então podemos garantir que [tex3]k\ge 1[/tex3] e cortar a raiz quadrada com o expoente quadrado:

[tex3]k-1+1 = \frac{k^2}{4}[/tex3]

[tex3]k = \frac{k^2}{4}\Rightarrow\begin{cases}k=0,\text{ ABSURDO, pois }k\ge 1\\\boxed{\boxed{k=4}},\text{ OK}\end{cases}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju