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Simplificar a expressão: [tex3]\frac{\cos^3x-\sen^3x}{1+\sen x\cdot \cos x }[/tex3]

Vamos lembrar da fatoração por diferença de cubos:
[tex3]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).[/tex3]
Tomando [tex3]a=\cos{x}[/tex3] e [tex3]b=\sen{x}[/tex3] temos:
[tex3]\cos^3{x}-\sen^3{x}=(\cos{x}-\sen{x})(\cos^2{x}+\cos{x}\sen{x}+\sen^2{x}).[/tex3]
Mas, pela Relação fundamental da trigonometria, sabemos que [tex3]\cos^2{x}+\sen^2{x}=1.[/tex3]
Nossa expressão se transforma em:
[tex3]\cos^3{x}-\sen^3{x}=(\cos{x}-\sen{x})(1+\cos{x}\sen{x}).[/tex3]
Com isso, fica tranquilo simplificar sua expressão inicial agora:
[tex3]\frac{\cos^3{x}-\sen^3{x}}{1+\sen x\cos x}=\frac{(\cos{x}-\sen{x})(1+\cos{x}\sen{x})}{1+\sen x\cos x}=\cos{x}-\sen{x}.[/tex3]
Pronto.


Uma observação extra, se lhe interessar: o denominador da fração dada sempre será diferente de zero.
Ou seja, não há nenhum valor real de [tex3]x[/tex3] que fizesse o denominador dar zero, de forma que a expressão dada está bem definida para todo [tex3]x \in \mathbb{R}.[/tex3]
Explicação dessa afirmação:
[tex3]1+\cos{x}\sen{x}=0 \iff \cos{x}\sen{x}=-1 \iff 2\cos{x}\sen{x}=-2 \iff \sin{(2x)}=-2,[/tex3]
sendo que a última equação não possui solução nos reais, já que o seno de qualquer número real sempre fica entre [tex3]-1[/tex3] e [tex3]1[/tex3].

Olá, @Grisha.

Uma segunda maneira de resolver, caso não lembre da fatoração da diferença dos cubos, pode ser assim:

[tex3]\frac{\cos^3x-\sen^3x}{1+\sen x\cdot \cos x }[/tex3]

[tex3]\frac{\cos^2 x\cdot\cos x-\sen^2x\cdot \sen x}{1+\sen x\cdot \cos x }[/tex3]

Agora podemos aplicar a identidade fundamental da trigonometria nos dois quadrados que aparecem acima:

[tex3]\frac{(1-\sen^2 x)\cdot\cos x-(1-\cos^2x)\cdot \sen x}{1+\sen x\cdot \cos x }[/tex3]

[tex3]\frac{\cos x-\sen^2 x\cdot \cos x-\sen x+\sen x\cdot\cos^2x}{1+\sen x\cdot \cos x }[/tex3]

Agora podemos colocar o termo [tex3]\sen x\cdot\cos x[/tex3] em evidência:

[tex3]\frac{\cos x-\sen x+\sen x\cos x(\cos x-\sen x)}{1+\sen x\cdot \cos x }[/tex3]

E o termo [tex3](\cos x - \sen x)[/tex3] em evidência nesse ponto:

[tex3]\frac{(\cos x-\sen x)\cdot\cancel{(1+\sen x\cos x)}}{\cancel{(1+\sen x\cdot \cos x )}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\cos x - \sen x}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju