Ensino Médio ⇒ (UFRRJ 2000) Trigonometria - Soma de arcos Tópico resolvido

[dunkmaster09]

Os símbolos a seguir foram encontrados em uma caverna em Machu Picchu, no Peru, e cientistas julgam que extraterrestres os desenharam.

trigonometria_soma_de_arcos.png (34.05 KiB) Exibido 176 vezes

Tais cientistas descobriram algumas relações trigonométricas entre os lados das figuras, como é mostrado acima. Se a + b = π/6 pode-se afirmar que a soma das áreas das figuras é igual a

a) π.
b) 3.
c) 2.
d) 1.
e) π/2

Vi uma resolução porém não entendi.
Alguém consegue me ajudar?

Resposta

---

D

[ProfLaplace]

Qual foi sua dúvida na resolução que viu?

[dunkmaster09]

A resolução que encontrei é essa. Eu entendi até a linha 2, porém essa operação de 2*sen(a+b) não entendi.

1. senb*cosa + 2*sena*cosb + senb*cosa
2. 2*senb*cosa + 2*sena * cosb
3. 2*sen(a+b)
4. 2*sen(pi/6)
5. 2*30 = 60 ou pi/3
6. sen(30º) = 1/2 * 2 = 1

[ProfLaplace]

Opa, tudo bem?
Basicamente existe uma fórmula importante em trigonometria, chamada Fórmula da soma de arcos.
Uma das versões dela é a seguinte:
[tex3]\sen{(a+b)}=\sen{a}\cos{b}+\sen{b}\cos{a}.[/tex3]
(Lembrando que [tex3]\sen{a}\cos{b}[/tex3] é a multiplicação desse seno pelo cosseno ok? Eu costumo deixar sem sinal nenhum no meio, do que usar asterisco).

Agora voltando pra questão:
A área [tex3](A)[/tex3] da figura é
[tex3]A=\sen{b}\cos{a}+2\sen{a}\cos{b}+\sen{b}\cos{a}.[/tex3]
Dando uma leve arrumada temos,
[tex3]A=2\sen{a}\cos{b}+2\sen{b}\cos{a}.[/tex3]
Aqui seria a etapa 2.
A partir daqui, iremos agora colocar o [tex3]2[/tex3] em evidência (fatoração por fator comum em evidência).
Fica assim:
[tex3]A=2(\sen{a}\cos{b}+\sen{b}\cos{a}).[/tex3]
É agora que entra a fórmula da soma de arcos que eu citei no começo.
Vc pode ver que o termo [tex3](\sen{a}\cos{b}+\sen{b}\cos{a})[/tex3] que apareceu na expressão da área se encaixa exatamente lá no lado direito da fórmula da soma de arcos que citei acima.
Isto quer dizer que este termo pode ser substituído por [tex3]\sen{(a+b)},[/tex3] que no caso é o lado esquerdo lá da fórmula.
Acho que foi nessa parte que vc teve dificuldade né.
Basicamente é só usar a fórmula da soma de arcos.
Trocaremos [tex3](\sen{a}\cos{b}+\sen{b}\cos{a})[/tex3] por [tex3]\sen{(a+b)},[/tex3] pois segundo a fórmula esses dois valores são iguais.
Então nossa área vai ficar assim:
[tex3]A=2\sen{(a+b)}[/tex3]
Agora, para continuar, usaremos a informação dada no enunciado de que [tex3]a+b=\frac{\pi}{6}:[/tex3]
[tex3]A=2\sen{\frac{\pi}{6}}[/tex3]
Mas o seno de [tex3]\frac{\pi}{6}[/tex3] vale [tex3]\frac{1}{2},[/tex3] então:
[tex3]A=2\cdot\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]A=1.[/tex3]

Alternativa D.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Obs: as etapas da solução que vc me mandou estão um pouco estranhas.
Na etapa 5 vc multiplicou o 30º por 2, chegando em 60º.
Essa conta não faz sentido nesse problema.
O que está sendo multiplicado por 2 é o seno de 30º, e não o próprio ângulo de 30º.
Veja com calma a solução que te apresentei acima.