Olimpíadas ⇒ (Olimpíada do Rio Grande do Norte -13) - Círculos Tópico resolvido

[K1llua]

Na figura abaixo os dois círculos com centros [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] são tangentes externamente no ponto [tex3]A[/tex3]. Sabendo que o segmento [tex3]BC[/tex3] é tangente a ambos os círculos. Determine a medida do ângulo [tex3]BÂC[/tex3].

Resposta

---

[tex3]90^{\circ}[/tex3]

Olá, boa tarde! Alguém poderia me ajudar com essa questão? Desde já, agradeço.

[FelipeMartinMOD]

a reta tangente comum aos dois círculos pelo ponto A é o eixo radical dos dois círculos; e, portanto, passa pelo ponto médio da tangente comum BC (esse ponto médio obviamente tem a mesma potência em relação aos dois círculos, certo?). Seja M esse ponto médio. Por Pitot, MA=MC=MB. Acabou. O ponto médio de BC é circuncentro do triângulo BAC, logo, o triângulo em questão é retângulo em A. O ângulo pedido é 90º.

[Klaus6699]

Boa solução, estava pensado na mesma solução

[K1llua]

a reta tangente comum aos dois círculos pelo ponto A é o eixo radical dos dois círculos; e, portanto, passa pelo ponto médio da tangente comum BC (esse ponto médio obviamente tem a mesma potência em relação aos dois círculos, certo?). Seja M esse ponto médio. Por Pitot, MA=MC=MB. Acabou. O ponto médio de BC é circuncentro do triângulo BAC, logo, o triângulo em questão é retângulo em A. O ângulo pedido é 90º.

Vou tentar replicar a resolução na figura, obrigada.

[cajuADMIN]

Sacanagem essa imagem toda distorcida no enunciado!!! Só pra não conseguir ver as propriedades, rsrs

Uma segunda resolução:

Traçamos [tex3]AD[/tex3], perpendicular a [tex3]BC[/tex3] em [tex3]D[/tex3]. E temos que [tex3]PB[/tex3] é paralelo a [tex3]AD[/tex3] e [tex3]QC[/tex3]. Assim, podemos concluir [tex3]\angle PBA = \angle BAD = \alpha[/tex3] e [tex3]\angle QCA=\angle DAC = \theta[/tex3].

Olhando para os ângulos em volta do vértice [tex3]A[/tex3] vemos que a soma dos 4 ângulos tem que resultar [tex3]180^\circ[/tex3]:

[tex3]\alpha+\alpha+\theta+\theta=180^\circ[/tex3]

[tex3]2\alpha+2\theta=180^\circ[/tex3]

[tex3]2(\alpha+\theta)=180^\circ[/tex3]

[tex3]\alpha+\theta=90^\circ[/tex3]

Veja que essa soma resulta exatamente o ângulo [tex3]\angle BAC[/tex3] solicitado.

[tex3]\boxed{\boxed{\angle BAC = 90^\circ}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[K1llua]

Sacanagem essa imagem toda distorcida no enunciado!!! Só pra não conseguir ver as propriedades, rsrs

Uma segunda resolução:

image.png

Traçamos [tex3]AD[/tex3], perpendicular a [tex3]BC[/tex3] em [tex3]D[/tex3]. E temos que [tex3]PB[/tex3] é paralelo a [tex3]AD[/tex3] e [tex3]QC[/tex3]. Assim, podemos concluir [tex3]\angle PBA = \angle BAD = \alpha[/tex3] e [tex3]\angle QCA=\angle DAC = \theta[/tex3].

Olhando para os ângulos em volta do vértice [tex3]A[/tex3] vemos que a soma dos 4 ângulos tem que resultar [tex3]180^\circ[/tex3]:

[tex3]\alpha+\alpha+\theta+\theta=180^\circ[/tex3]

[tex3]2\alpha+2\theta=180^\circ[/tex3]

[tex3]2(\alpha+\theta)=180^\circ[/tex3]

[tex3]\alpha+\theta=90^\circ[/tex3]

Veja que essa soma resulta exatamente o ângulo [tex3]\angle BAC[/tex3] solicitado.

[tex3]\boxed{\boxed{\angle BAC = 90^\circ}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

Obrigada mestre! Ajudou bastante