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Em um triângulo ABC de área igual a 52 m^2 , as cevianas AE e BF interceptam-se em P, conforme a figura a seguir. Se BE = 3 ⋅ EC e AC = 4 ⋅ AF, determine a área da região triangular BPE.

traa esse traço é faz proporão que ceviana faz num triãngulo

aqui

com isso que mostrei agora tente provar nessa figura que Ârea desses três triãngulos vermelhos são iguais

Muito obrigado, irmão. Apenas te aconselharia a fazer respostas mais detalhadas e organizadas, porque as vezes é difícil "prever" o que uma pessoa quer expressar, porém meu muito obrigado!

@TimóteoCruz,

As bases nos informam as proporções das áreas dos triângulos maiores:
Como BE = 3EC, a base BC está dividida na razão 3:1.
A área do triângulo ABE é [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] da área total[tex3]: S_{ABE} = \frac{3}{4} \cdot 52 = 39[/tex3]

Como AC = 4AF, então FC = 3AF A base AC está dividida na razão 1:3.
A área do triângulo ABF é [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] da área total:[tex3]S_{ABF} = \frac{1}{4} \cdot 52 = 13[/tex3]

Para encontrar a área de BPE, precisamos saber como o ponto P divide a ceviana AE. Aplicamos Menelaus no triângulo AEC com a transversal passando por B, P, F
[tex3]\frac{AF}{FC} \cdot \frac{CB}{BE} \cdot \frac{EP}{PA} = 1[/tex3]
Substituindo as proporções[tex3] (\frac{AF}{FC} = \frac{1}{3}: \frac{CB}{BE} = \frac{4}{3}):\\ \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{EP}{PA} = 1 \implies \frac{4}{9} \cdot \frac{EP}{PA} = 1 \implies \frac{EP}{PA} = \frac{9}{4}[/tex3]
Portanto o segmento AE está dividido em 9 + 4 = 13 partes, onde EP representa 9 dessas partes.

O triângulo BPE e o triângulo ABE compartilham o mesmo vértice B e suas bases estão sobre a mesma reta AE. Portanto, a razão entre suas áreas é a mesma razão entre suas bases (EP e AE):
[tex3]S_{BPE} = \frac{EP}{AE} \cdot S_{ABE} \implies S_{BPE} = \frac{9}{13} \cdot 39 = \boxed{27}[/tex3]