IME / ITA ⇒ (IME - 1971) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Sejam [tex3]8[/tex3] (oito) esferas de raio [tex3]r[/tex3] tangentes entre si [tex3]3[/tex3] a [tex3]3[/tex3] inscritas em uma esfera de raio [tex3]R[/tex3]. Calcule [tex3]r[/tex3] em função de [tex3]R[/tex3].

(A) [tex3]\frac{R}{2}(\sqrt{3}-1)[/tex3].
(B) [tex3]\sqrt{3}R[/tex3].
(C) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}R[/tex3].
(D) [tex3]\frac{R\sqrt{2}}{2}(\sqrt{3}-1)[/tex3].
(E) [tex3]\frac{R\sqrt{3}}{2}[/tex3].
(F) [tex3]N.R.A[/tex3].

[ALDRINMOD]

Alguém???

[FilipeCaceres]

Olá Aldrin,

Para que seja satisfeito o enunciado devemos dispor as esferas como se estivessem dentro de um cubo.

Eu tentei construir uma figura com apenas 4 esferas.

oito esferas.png (87.21 KiB) Exibido 1134 vezes

Veja que do canto do cubo até a esfera tem uma certa distância que chamaremos de a, mas se consideramos que em cada esfera tem um cubo, teremos um total de 4a na diagonal do cubo.

A diagonal do cubo vale:
[tex3]d=l\sqrt{3}[/tex3]

Onde
[tex3]l=4r[/tex3]

Assim temos,
[tex3]4a+4r=4r\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]a=r(\sqrt{3}-1)[/tex3]

Podemos escrever a seguinte relação, entre as esferas:
[tex3]2R=4r+2a[/tex3]
[tex3]2R=4r+2r(\sqrt{3}-1)[/tex3]
[tex3]R=r(\sqrt{3}+1)[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{r=\frac{R(\sqrt{3}-1)}{2}}[/tex3]. Letra A

Qualquer erro, prendam um grito.

Abraço.

[cajuADMIN]

Olhem a figura neste tópico aqui http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... ras#p18371, de repente ajuda a visualizar. A questão é diferente, mas a disposição das esferas é a mesma.

Grande abraço,
Prof. Caju