IME / ITA ⇒ (AMAN - 2005) Geometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Em uma elipse de semi-eixos [tex3]"a"[/tex3] e [tex3]"b"[/tex3], inscreve-se um quadrado com lados paralelos a seus eixos. A área deste quadrado expressa em função de [tex3]"a"[/tex3] e [tex3]"b"[/tex3] é:

(A) [tex3]\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}[/tex3].
(B) [tex3]4(a+b)^2[/tex3].
(C) [tex3]\frac{2ab}{a^2+b^2}[/tex3].
(D) [tex3]\frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}[/tex3].
(E) [tex3]4a^2+4b^2[/tex3].

[fabit]

Chamando de S a área, seu lado é [tex3]\sqrt{S}[/tex3].

Se a elipse estiver centrada na origem com eixo 2a horizontal, as coordenadas dos vértices do quadrado serão [tex3](\pm\frac{\sqrt{S}}{2},\pm\frac{\sqrt{S}}{2})[/tex3].

Deixando de lado o [tex3]\pm[/tex3] e trabalhando só no primeiro quadrante, a equação reduzida da elipse com o vértice já substituído fica:

[tex3]\frac{S}{4a^2}+\frac{S}{4b^2}=1[/tex3]

Multiplicando por [tex3]4a^2b^2[/tex3] fica [tex3]b^2S+a^2S=4a^2b^2[/tex3]

[tex3]S(a^2+b^2)=4a^2b^2[/tex3]

[tex3]S=\frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}[/tex3] Letra D