IME / ITA ⇒ (AMAN - 2005) Geometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

De todos os retângulos com perímetro [tex3]2p=40\sqrt{2}\text{ cm}[/tex3], inscrevemos o de maior área em um circunferência. A área do triângulo eqüilátero inscrito nessa circunferência mede, em [tex3]cm^2[/tex3]

(A) [tex3]13\sqrt{3}[/tex3].
(B) [tex3]50\sqrt{3}[/tex3].
(C) [tex3]75\sqrt{3}[/tex3].
(D) [tex3]25\sqrt{3}[/tex3].
(E) [tex3]100\sqrt{3}[/tex3].

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.

O retângulo de área máxima inscrito numa circunferência é o quadrado. Como o perímetro é igual a [tex3]40\sqrt{2}[/tex3] podemos escrever:

[tex3]4l= 40\sqrt{2} \Rightarrow l= 10\sqrt{2}[/tex3].

Para o quadrado inscrito temos:

[tex3]l= R\sqrt{2} \Rightarrow 10\sqrt{2}= R \sqrt{2} \Rightarrow R= 10[/tex3]

Para o triângulo equilátero inscrito temos:

[tex3]l_t= R \sqrt{3} \Rightarrow l_t= 10\sqrt{3}[/tex3]

Logo, a sua área será de :

[tex3]A= \frac{l^2 \sqrt{3}}{4} \Rightarrow A= \frac{100.3\sqrt{3}}{4} \Rightarrow A= 75\sqrt{3} cm^2[/tex3]

Alternativa: C