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Se P(x) é um polinômio do segundo grau cujas raízes são 2 e 3, o polinômio [P(x)]^2 admite
(A) 2 e 3 como raízes simples.
(B) 2 e 3 como raízes duplas.
(C) 4 e 9 como raízes simples.
(D) 4 e 9 como raízes duplas.
(E) duas raízes reais e duas não reais.

Olá, jacobi.

Se o polinômio é do 2ºgrau ele é da forma :

[tex3]P(x)= ax^2+bx+c[/tex3]

A soma e o produto das suas raízes são respectivamente:

[tex3]S=5[/tex3] e [tex3]P=6[/tex3]

Montando a equação do 2º grau em função de suas raízes teremos:

[tex3]x^2-Sx+P=0 \Rightarrow x^2-5x+6=0[/tex3]

Fatorando teremos:

[tex3](x-2).(x-3)= 0[/tex3]

O polinômio [tex3][P(x)]^2[/tex3] será da forma:

[tex3](x-2)^2.(x-3)^2=0 \Rightarrow (x-2)(x-2)(x-3)(x-3)=0[/tex3]

Admite [tex3]2[/tex3] e [tex3]3[/tex3] como raízes duplas.

Alternativa: B

Se formos pelos casos gerais:

Todo polinômio (no caso de segundo grau) pode ser escrito como:

[tex3]P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex3] , em que [tex3]a[/tex3] é o coeficiente do [tex3]x[/tex3] de maior grau e [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] são as raízes de [tex3]P(x)[/tex3].

[tex3][P(x)]^2=a^2(x-x_1)^2(x-x_2)^2[/tex3], [tex3][P(x)]^2[/tex3] é de quarto grau logo admite 4 raízes, mas vemos que [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] são raízes duplas, pois [tex3]x_3=x_1[/tex3] e [tex3]x_4=x_2[/tex3], assim [tex3][P(x)]^2=a^2(x-x_1)^2(x-x_2)^2[/tex3].

Ou seja [tex3]2[/tex3] e [tex3]3[/tex3] são raízes duplas.

Resposta: Letra (B)