Olimpíadas ⇒ OLimpíada do Rio de Janeiro 1994

[jacobi]

Quantos pares ordenados (x , y) com x e y inteiros positivos são soluções da equação [tex3]\frac{4}{x} + \frac{2}{y} = 1[/tex3]?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) mais do que 4

[John]

Como [tex3]\frac{4}{x} + \frac{2}{y} = 1[/tex3], devemos ter [tex3]x > 4[/tex3] e [tex3]y > 2[/tex3].

Suponhamos que [tex3]x \leq y[/tex3]. Então [tex3]x \leq 6[/tex3].

De fato: Se [tex3]x > 6[/tex3] então [tex3]\frac{4}{x} < \frac{2}{3}[/tex3]. Como [tex3]x \leq y[/tex3], devemos ter [tex3]6 < y[/tex3], assim [tex3]\frac{2}{y} < \frac{1}{3}[/tex3]. Assim,

[tex3]\frac{4}{x} + \frac{2}{y} < \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1[/tex3]. CONTRADIÇÃO!

Assim [tex3]x \in \{5,6\}[/tex3].

Se [tex3]x = 5[/tex3] então [tex3]y = 10[/tex3].

Se [tex3]x = 6[/tex3] então [tex3]y = 6[/tex3].

Suponhamos que [tex3]y \leq x[/tex3]. Então [tex3]y \leq 6[/tex3].

De fato: Se [tex3]y > 6[/tex3] então [tex3]\frac{2}{y} < \frac{1}{3}[/tex3]. Como [tex3]y \leq x[/tex3], devemos ter [tex3]6 < x[/tex3], assim [tex3]\frac{4}{x} < \frac{2}{3}[/tex3]. Assim,

[tex3]\frac{4}{x} + \frac{2}{y} < \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1[/tex3]. CONTRADIÇÃO!

Assim [tex3]y \in \{3,4,5,6\}[/tex3].

Se [tex3]y = 3[/tex3] então [tex3]x = 12[/tex3].

Se [tex3]y = 4[/tex3] então [tex3]x = 8[/tex3].

Se [tex3]y = 5[/tex3] então [tex3]x = \frac{20}{3}[/tex3].

Se [tex3]y = 6[/tex3] então [tex3]x = 6[/tex3].

Portanto, temos 4 soluções.

Inté!!

[jacobi]

Ei John, tu és um raio, cara. Parabéns.