Pré-Vestibular ⇒ (Ufscar - 2009) Polinômios Tópico resolvido

[jacobi]

Em relação a [tex3]P(x)[/tex3], um polinômio de terceiro grau, sabe-se que [tex3]P(?1)=2[/tex3], [tex3]P(0)=1[/tex3], [tex3]P(1)=2[/tex3] e [tex3]P(2)=7[/tex3].

a) Determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto em que o gráfico da função polinomial [tex3]P(x)[/tex3] cruza o eixo [tex3]y[/tex3], sabendo que essa reta tem coeficiente angular numericamente igual à soma dos coeficientes de [tex3]P(x)[/tex3].
b) Determine [tex3]P(x)[/tex3].

[adrianotavares]

Olá,jacobi.

Se o polinômio é do 3º grau ele é do tipo:

[tex3]P(x)= ax^3+bx^2+cx+d=0[/tex3]

[tex3]P(0)= 1 \Rightarrow a0^3+0^2x+0x+d=1 \Rightarrow d=1[/tex3]

[tex3]P(1)=2 \Rightarrow a+b+c+1=2 \Rightarrow a+b+c=1 (i)[/tex3]

[tex3]P(-1)=2 \Rightarrow -a+b-c+1=2 \Rightarrow -a+b-c=1 (ii)[/tex3]

[tex3]P(2)=7 \Rightarrow 8a+4b+2c+1=7 \Rightarrow 8a+4b+2c=6 (iii)[/tex3]

Rerelvendo o sistema formado por [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii)[/tex3] encontraremos:

[tex3]b=1[/tex3]

[tex3]a+b+c=1 \Rightarrow a+1+c=1 \Rightarrow a=-c[/tex3]

Substituindo os valores de [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] em [tex3](iii)[/tex3] teremos:

[tex3]8a+4b+2c=6 \Rightarrow 8a+4-2a=6 \Rightarrow 6a=2 \Rightarrow a= \frac{1}{3}[/tex3]

[tex3]c=-a \Rightarrow c=- \frac{1}{3}[/tex3]

[tex3]P(x)= \frac{x^3}{3}+x^2-\frac{x}{3}+1[/tex3]

A soma dos coeficientes de P(x) é igual a:

[tex3]\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+1+1=2[/tex3]

Coma a reta corta o eixo [tex3]y[/tex3] e sabemos que [tex3]P(0)=1[/tex3] conclui-se que as coordenadas do ponto é [tex3](0,1)[/tex3]

A equação da reta é dada por:

[tex3]y-y_0=m(x-x_0) \Rightarrow y-1=2(x-0) \Rightarrow y-1=2x \Rightarrow y=2x+1[/tex3]