Ensino Médio ⇒ Progressões Geométricas Tópico resolvido

[olgario]

A soma de três termos consecutivos de uma Progressão Geométrica é [tex3]52[/tex3]. Se adicionarmos [tex3]8[/tex3]
ao termo intermédio, os três números passam a ser termos consecutivos de uma Progressão Aritmética.
Quais são os números em questão ?

Atenciosamente
olgario

[jacobi]

A soma de três termos consecutivos de uma Progressão Geométrica é [tex3]52[/tex3]. Se adicionarmos [tex3]8[/tex3]
ao termo intermédio, os três números passam a ser termos consecutivos de uma Progressão Aritmética.
Quais são os números em questão ?

Os numeros poderão ser escritos na seguinte forma: [tex3](x/q , x , x.q)[/tex3] --> PG.
Logo, [tex3]x/q + x + x.q = 52[/tex3] ou [tex3]x(1/q + 1 + q) = 52 \ ou \ (1/q + q) = \frac{52 - x}{x}[/tex3]
Somando 8 unidades ao segundo termo temos uma PA --> [tex3](x/q , x + 8 , x.q)[/tex3]
Logo, [tex3]2x + 16 = x/q + x.q \ ; \ 2x + 16 = x(1/q + q)[/tex3]
Daí, [tex3]2x + 16 = x.\frac{52 - x}{x}[/tex3]
[tex3]2x + 16 = 52 - x[/tex3]
[tex3]3x = 36 \ ; \ x = 12[/tex3]
Agora temos que achar o valor da razão, substituindo em [tex3](1/q + q) = \frac{52 - x}{x}[/tex3]
[tex3]1/q + q = 40/12[/tex3]
[tex3]12 + 12q^2 = 40q[/tex3]
[tex3]3q^2 - 10q + 3 = 0[/tex3]
[tex3]q = \frac{10 + 8}{6}[/tex3]
[tex3]q = 3[/tex3]
Então, a PG é {4 , 12 , 36}