IME / ITA ⇒ (ESPCEX - 1999) Números Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Para todo [tex3]n \in \mathbb{Z}[/tex3] e [tex3]k \in \mathbb{Z}[/tex3], com [tex3]n < k[/tex3], é sempre verdadeira a sentença:

(A) [tex3]\frac{1}{n} < \frac{1}{k}[/tex3].
(B) [tex3]\frac{n+k}{n.k}[/tex3], é um número inteiro.
(C) [tex3]\sqrt{n} < \sqrt{k}[/tex3].
(D) [tex3]1-n < 1-k[/tex3].
(E) [tex3]\frac{1}{2^n} > \frac{1}{2^k}[/tex3].

Resposta

---

(E)

[Auto Excluído (ID:3002)]

a) Falso, pois por exemplo: [tex3]n=2<3=k[/tex3] mas [tex3]\frac{1}{2}>\frac{1}{3}[/tex3]
b) Falso, pois por exemplo: [tex3]n=2<3=k[/tex3] e [tex3]\frac{2+3}{2 \cdot 3}=\frac{5}{6}[/tex3] que não é inteiro
c) Falso, pois por exemplo: [tex3]n=-4<-1=k[/tex3] mas não é verdade que [tex3]\sqrt{-4}<\sqrt{-1}[/tex3] no universo dos inteiros
d) Falso, pois por exemplo: [tex3]2<3[/tex3] mas [tex3]1-2=-1>-2=1-3[/tex3]
e) Verdadeiro, pois se [tex3]n<k[/tex3] então [tex3]{-}n>{-}k[/tex3]. Segue que [tex3]2^{-n}>2^{-k}[/tex3], ou seja, [tex3]\frac{1}{2^n}>\frac{1}{2^k}[/tex3]