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Sejam [tex3]M[/tex3] um conjunto cujos elementos são números naturais compostos por três algarismos distintos e primos absolutos. Sabe-se que o inverso de cada um deles é a dízima periódica simples e que, invertendo-se a posição dos algarismos das centenas com os das unidades, em todos eles, os respectivos inversos são dízimas periódicas compostas. O número de subconjuntos de [tex3]M[/tex3] é:

a) [tex3]16[/tex3]
b) [tex3]1024[/tex3]
c) [tex3]256[/tex3]
d) [tex3]2048[/tex3]
e) maior que [tex3]3000[/tex3]

Toda dízima periódica simples pode ser escrita na forma [tex3]\frac{D}{999\ldots 9}.[/tex3] Portanto, utilizando os números [tex3]2,3,5[/tex3] e [tex3]7[/tex3] para construir uma dízima simples o número não pode terminar com [tex3]2[/tex3] e [tex3]5[/tex3] pois: [tex3]\frac{1}{n} = \frac{D}{999\ldots 9},[/tex3] ou seja, [tex3]999\ldots 9[/tex3] é múltiplo de [tex3]n,[/tex3] coisa que não é possível para um número terminado em [tex3]2[/tex3] ou [tex3]5.[/tex3]

Portanto, apenas os números terminados em [tex3]3[/tex3] ou [tex3]7[/tex3] podem ser dízimas simples.

Pode-se provar que todo número da forma [tex3]\frac{1}{n}[/tex3] só é uma dízima composta se possuir [tex3]2[/tex3] ou [tex3]5[/tex3] como parte de seu fatoramento, ou seja, o número depois de invertido tem que terminar em [tex3]2[/tex3] ou [tex3]5.[/tex3]

Portanto, os números que satisfazem as condições são:

• [tex3]\begin{array}{cc}
  237& 523 \\
  253& 527 \\
  257&537 \\
  273 & 573 \\
  \end{array}[/tex3]

Com [tex3]8[/tex3] elementos o número se subconjuntos é [tex3]2^n= 256.[/tex3]

Interpretei que são primos absolutos os algarismos que compõem o número de [tex3]3[/tex3] dígitos e não o número com um todo.

Portanto os dígitos podem ser [tex3]2, 3, 5[/tex3] e [tex3]7.[/tex3]

[tex3]M[/tex3] está contido em [tex3]\{235, 253, 325, 352, 523, 532, 237, 273, \ldots, 753\}[/tex3]

Se o inverso é dízima simples, o número não tem fatores [tex3]2[/tex3] ou [tex3]5.[/tex3] Portanto não pode terminar nesses dígitos.

Ao trocar, a dízima fica composta, obrigando a ter um desses fatores no número formado (ápós a troca evidentemente). Isso significa que, antes da troca, o algarismo das centenas tem que ser [tex3]2[/tex3] ou [tex3]5.[/tex3]

Agora temos menos possibilidades:

com [tex3]2, 3[/tex3] e [tex3]5: 253, 523[/tex3] apenas
com [tex3]2, 3[/tex3] e [tex3]7: 237, 273[/tex3] apenas
com [tex3]2, 5[/tex3] e [tex3]7: 257, 527[/tex3] apenas
com [tex3]3, 5[/tex3] e [tex3]7: 537, 573[/tex3] apenas

Logo [tex3]M[/tex3] tem [tex3]8[/tex3] elementos e [tex3]256[/tex3] subconjuntos.

Letra (b).