IME / ITA ⇒ (IME-CG - 2001) Equação Logarítmica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Resolva a equação:

[tex3]\log_{(3x)} \(\frac{3}{x}\)+(\log_3 x)^2=1[/tex3]

[joynobre]

[tex3]\log_{(3x)} \(\frac{3}{x}\)+(\log_3 x)^2=1[/tex3]

fazendo a mudança da base [tex3]3x[/tex3] para a base [tex3]3[/tex3]:

[tex3]\log_{(3x)} \(\frac{3}{x}\)=\frac{\log_3\(\frac{3}{x}\)}{\log_3 (3x)} = \frac{1- \log_3 x}{1+\log_3 x}[/tex3]

voltando na equação:

[tex3]\frac{1- \log_3 x}{1+\log_3 x}+(\log_3 x)^2 =1 \,\, ; \,\, \log_3 x= r[/tex3]

[tex3]\frac{1- r}{1+r } + r^2 =1[/tex3]

[tex3]1-r+r^2 (1+r)=1+r[/tex3]
[tex3]r^3 + r^2 - 2r=0[/tex3]

[tex3]r(r^2+r -2)=0[/tex3]

[tex3]r=0[/tex3]

[tex3]ou[/tex3]

[tex3]r^2 +r -2 =0[/tex3]
[tex3]\therefore r=-2 \,\,ou \,\,r=1[/tex3]

[tex3]\log_3 x = -2 \Rightarrow \, x=\frac{1}{9}[/tex3]
[tex3]\log_3 x = 0 \Rightarrow \, x= 1[/tex3]
[tex3]\log_3 x= 1 \Rightarrow \, x= 3[/tex3]

[tex3]S=\left\{\frac{1}{9}\,,\,1\,,\,3 \right\}[/tex3]