Pré-Vestibular ⇒ (UFMA - 2005) Equação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O valor de [tex3]k[/tex3], para que as raízes da equação [tex3]x^3-9x^2+kx+216=0[/tex3] formem uma Progressão Aritmética, é:

a) [tex3]1[/tex3].
b) [tex3]{-}72[/tex3].
c) [tex3]23[/tex3].
d) [tex3]{-}54[/tex3].
e) [tex3]0[/tex3].

[joynobre]

[tex3]x^3-9x^2+kx+216=0[/tex3]

** Lembrando as relações de Girard :
[tex3]r_1 + r_2 +r_3 = -\frac{b}{a}[/tex3]
[tex3]r_1\cdot r_2+r_1\cdot r_3 +r_2\cdot r_3 =\frac{c}{a}[/tex3]
[tex3]r_1\cdot r_2\cdot r_3 = -\frac{d}{a}[/tex3]


[tex3](r_1,r_2,r_3)P\cdot A.[/tex3]

[tex3]r_2=\frac{r_1+r_3}{2}\,\,(i)[/tex3]

[tex3]S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}[/tex3]
[tex3]S_3 = \frac{(r_1+r_3)\cdot 3}{2}= r_1+r_2+r_3 = -\frac{b}{a}[/tex3]
[tex3]\frac{(r_1+r_3)\cdot 3}{2} = 9[/tex3]
[tex3]r_1 + r_3 = 6\,\,(ii)[/tex3]

Substituindo [tex3](ii)[/tex3] em [tex3](i)[/tex3] teremos que [tex3]r_2 =3[/tex3]

[tex3]r_1\cdot r_2\cdot r_3 =-\frac{d}{a} =-216[/tex3]
[tex3]r_1.3\cdot r_3 = -216[/tex3]
[tex3]r_1\cdot r_3 = -72\,\,(iii)[/tex3]

Resolvendo o sistema formado por [tex3](ii)[/tex3] e [tex3](iii)[/tex3]:

[tex3]\begin{cases}r_1 + r_3 = 6 \\ r_1\cdot r_3 = -72\end{cases}[/tex3]

[tex3]r_1 = -6 \,\, \Rightarrow \,\, r_3 = 12[/tex3]

ou

[tex3]r_1 =12 \,\, \Rightarrow \,\, r_3 =-6[/tex3]

[tex3]P\cdot A.( 12,3,-6) \,\,ou\,\, ( -6 ,3,12)[/tex3]

[tex3]r_1\cdot r_2 +r_1\cdot r_3+ r_2\cdot r_3 = \frac{c}{a}= k[/tex3]
[tex3]12.3+12\cdot (-6)+ 3\cdot (-6) = k[/tex3]

[tex3]\therefore \,\, k= -54[/tex3]

[jacobi]

O valor de [tex3]k[/tex3], para que as raízes da equação [tex3]x^3-9x^2+kx+216=0[/tex3] formem uma Progressão Aritmética, é:

Como as raízes estão em PA e sabemos a soma delas, ou seja, 9, então uma das raízes é [tex3]\frac{9}{3} = 3[/tex3]. daí, substituindo na equação temos: [tex3]3^3 - 9.3^2 + 3k + 216 = 0[/tex3], ou seja, [tex3]k = -54[/tex3]