Estude! Com Prof. Caju

Num torneio de tênis, no qual todas as partidas são eliminatórias, estão inscritos [tex3]8[/tex3] jogadores. Para definir a primeira rodada do torneio realiza-se um sorteio casual que divide os [tex3]8[/tex3] jogadores em [tex3]4[/tex3] grupos de [tex3]2[/tex3] jogadores cada um.

a) De quantas maneiras diferentes pode ser constituída a tabela de jogos da primeira rodada? b) No torneio estão inscritos quatro amigos [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3], [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3].
Nenhum deles gostaria de enfrentar um dos outros logo na primeira rodada do torneio. Qual é a probabilidade de que esse desejo seja satisfeito? c) Sabendo que pelo menos um dos jogos da primeira rodada envolve [tex3]2[/tex3] dos [tex3]4[/tex3] amigos, qual é a probabilidade condicional de que [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] se enfrentem na primeira rodada?

Alguém poderia respondê-la?

Olá,

Eu descordo um pouco dos gabaritos da letra b e c. Vou explicar meu pensamento:

a) Vamos imaginar os participantes sejam a sequência [tex3](A, B, C, D, E, F, G, H)[/tex3], concordamos que há [tex3]8![/tex3] permutações para essa sequência. Agora, vamos dividir em pares e em jogos:


[tex3]\underbrace{[A, B]}_{1º\,jogo}\,\,\underbrace{[ C, D]}_{2º\,jogo}\,\,\underbrace{[ E, F]}_{3º\,jogo}\,\,\underbrace{[ G, H]}_{4º\,jogo} [/tex3]

Vale lembrar que primeiro jogo ou quarto jogo é apenas uma organização visual, pois queremos quantas maneiras podemos formar duplas com 8 pessoas.

Então, como definimos as duplas e os jogos nesse exemplo acima,significa que a dupla [tex3](A,B)[/tex3] podem estar em qualquer um dos 4 jogos desse exemplo. Porém, queremos o número de tabelas de jogos, logo não queremos saber em que jogo o A e o B irão jogar, mas sim quantas vezes eles se encontram. Ou seja, esse exemplo acima é uma das [tex3]4![/tex3] maneiras de formar uma tabela com essas duplas jogando.

[tex3]\underbrace{[C, D]}_{1º\,jogo}\,\,\underbrace{[ A, B]}_{2º\,jogo}\,\,\underbrace{[ E, F]}_{3º\,jogo}\,\,\underbrace{[ G, H]}_{4º\,jogo} [/tex3] é a mesma tabela de [tex3]\underbrace{[A, B]}_{1º\,jogo}\,\,\underbrace{[ C, D]}_{2º\,jogo}\,\,\underbrace{[ E, F]}_{3º\,jogo}\,\,\underbrace{[ G, H]}_{4º\,jogo} [/tex3]

Por fim, ainda nesse exemplo, dos [tex3]8![/tex3] permutações, há diferença entre [tex3](A, B)[/tex3] e [tex3](B,A)[/tex3], mas para formar uma tabela, não. Assim, formado a dupla, sua posição na sequência não importa, logo, para cada dupla, foi contado 2 vezes no [tex3]8![/tex3].

Então, nossa resposta será [tex3]\frac{8!}{4! (2!)^4}= 105\,\,\,maneiras[/tex3]



b) Se queremos que nenhum dos quatros se encontrem, então queremos algo como

[tex3]\underbrace{[A,X ]}_{1º\,jogo}\,\,\underbrace{[ B,Y ]}_{2º\,jogo}\,\,\underbrace{[ C, Z]}_{3º\,jogo}\,\,\underbrace{[ D, W]}_{4º\,jogo} [/tex3]

Ou seja, cada um dos amigos está em um jogo diferente. Dessa forma, devemos permutar os 4 restantes em cada jogo e teremos [tex3]4![/tex3] jogos onde eles não se encontram. Portanto, a probabilidade será

[tex3]P = \frac{24}{105}=\frac{8}{35}[/tex3]


c) Sabemos que há 105 maneiras de formar um dupla e em 24 nenhum dos amigos se encontram, logo há [tex3]81[/tex3] jogos onde pelo menos 2 amigos jogam entre si. Então, vamos calcular o número de jogos onde A e B jogam entre si. Ora, se essa dupla já está formada basta calcular o número de maneiras que podemos formar duplas com as 6 pessoas restantes. Isso nos leva ao pensamento da letra A, então teremos

[tex3]\frac{6!}{3!(2!)^3}= 15\,\,maneiras[/tex3]

Dessa forma, a probablidade condicional será

[tex3]P = \frac{15}{81} = \frac{5}{27}[/tex3]


Espero ter ajudado. Abraço.