IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1991) Equação Polinomial do 4º Grau Tópico resolvido

[ggarcia]

Se a equação [tex3]x^4 - 4(m+2)x^2+m^2=0[/tex3] admite quatro raízes reais, então:

(A) o maior valor inteiro de [tex3]m[/tex3] é [tex3]-3[/tex3].
(B) a soma dos três menores valores inteiros de [tex3]m[/tex3] é zero.
(C) a soma dos três maiores valores inteiros de [tex3]m[/tex3] é [tex3]-12[/tex3].
(D) só existem valores inteiros e positivos para [tex3]m[/tex3].
(E) só existem valores negativos para [tex3]m[/tex3].

[italoemanuell]

Olá, ggarcia!!!

Temos os seguintes casos a considerar:

1º) suponha que [tex3]m=0[/tex3], com isso a equação fica: [tex3]x^4-8x^2=0[/tex3] cujas soluções são 0 e 2 [tex3]\sqrt {2}[/tex3] e -2 [tex3]\sqrt {2}[/tex3].Não satisfaz a condição do enunciado!!!

2º) suponha que [tex3]m\neq0[/tex3]. Fazendo na equação [tex3]y=x^2[/tex3] (pois,se trata de uma equação biquadrada!!) fica: [tex3]y^2-4(m+2)y+m^2=0[/tex3] cujo [tex3]\Delta = b^2[/tex3]-4ac=12 [tex3]m^2[/tex3]+64m+64!!

Então,temos que considerar os casos :

a) a equação admite raizes reais e iguais se e somente se [tex3]\Delta[/tex3]=0. Mas,essa condição tbm não satisfaz a do problema.

b) a equação não admite raizes reais(complexas) se e somente se [tex3]\Delta \lt[/tex3] 0. Tbm não satisfaz a condição do probema.

c) a equação só adimte raizes reais e distintas se e somente se [tex3]\Delta \gt[/tex3] 0, ou seja-4 <m<-4/3. Como essa é a única condição e de todos os item que bate com essa conclusão é o item E

Resposta:E
Acho que é assim!!!
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"A Matemática possui uma força maravilhosa capaz de nos fazer compreender muitos mistérios de nossa fé. (SÃO JERÔNIMO)"

[Auto Excluído (ID:21063)]

Para o discriminante ser positivo o m deve ser: [tex3]m<4 \ \ \vee m>-\frac{4}{3}[/tex3], já que o coeficiente do termo em de maior grau da inequação de variável m. Alguém sabe o que tem que fazer agora na questão? Acho que tem de fazer Bhaskara em y e deixar maior que zero para existir em [tex3]x^2=y[/tex3]. Aqui o gabarito é b.

[Auto Excluído (ID:21063)]

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Cheguei ao [tex3]y=x^2[/tex3] com [tex3]m>2[/tex3], sabem o que devo fazer no exercício agora? Obrigado.

[cajuADMIN]

Olá tungstenio,

A sua resolução apresenta 2 pequenos problemas:

Na passagem [tex3]y_1+y_2>0\,\,\,\to\,\,\, m>2[/tex3] o correto seria [tex3]y_1+y_2>0\,\,\,\to\,\,\, \boxed{m>-2}[/tex3].

Na passagem [tex3]y_1\cdot y_2>0\,\,\,\to\,\,\,m^2>0\,\,\,\to\,\,\,m>0[/tex3] o correto seria [tex3]y_1\cdot y_2\ge0\,\,\,\to\,\,\,m^2\ge 0\,\,\,\to\,\,\,\boxed{m\in\mathbb{R}}[/tex3]

Assim, chega-se em:

[tex3]\(m>-2\)\cap\(m<-4\cup m>-\frac{4}{3}\)\,\,\,\to\,\,\,\boxed{\boxed{m>-\frac{4}{3}}}[/tex3]

Isso significa que se [tex3]m[/tex3] estiver dentro deste intervalo, a equação original terá 4 raízes reais. Agora, podemos analisar as alternativas:

(A) o maior valor inteiro de [tex3]m[/tex3] é -3.
FALSO. Como [tex3]m>-\frac{4}{3}[/tex3], não existe maior valor de [tex3]m[/tex3]. Vai pra infinito.

(B) a soma dos três menores valores inteiros de [tex3]m[/tex3] é zero.
[tex3]m>-\frac{4}{3}=-1.333...[/tex3]. Assim, os três menor valores inteiros são -1, 0 e 1, cuja soma vale ZERO
VERDADEIRO

(C) a soma dos três maiores valores inteiros de [tex3]m[/tex3] é -12.
FALSO. Não há três maiores valores. Vai pra infinito.

(D) só existem valores inteiros e positivos para [tex3]m[/tex3].
FALSO. Qualquer [tex3]m>-\frac{4}{3}[/tex3], inclusive os não inteiros, satisfazem o enunciado.

(E) só existem valores negativos para [tex3]m[/tex3].
FALSO. Qualquer [tex3]m>-\frac{4}{3}[/tex3] satisfaz o enunciado, inclusive [tex3]m>0[/tex3].

Grande abraço,
Prof. Caju