Pré-Vestibular ⇒ (Fuvest - 1993) Geometria Tópico resolvido

[Fisica12]

93-m-f-2q20.gif (3.24 KiB) Exibido 4801 vezes

a) Calcule a área do quadrilátero inscrito numa circunferência de raio unitário, como indicado na figura.

Resposta

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[tex3]S=2.cos18^\circ.cos36^\circ[/tex3].

b) Expresse essa área em função de [tex3]m=cos 18^\circ[/tex3]

Resposta

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[tex3]S=2m.(2m^2-1)[/tex3].

[ALDRINMOD]

a)
[tex3]\alpha+2\alpha+3\alpha+4\alpha=360^\circ \Rightarrow 10\alpha=360^\circ[/tex3]
[tex3]\alpha=36^\circ[/tex3]

Como os ângulos são centrais e os lados dos triângulos medem [tex3]1[/tex3], a área do quadrilátero é:

[tex3]A=\frac{1.1.sen36^\circ}{2}+\frac{1.1.sen72^\circ}{2}+\frac{1.1.sen108^\circ}{2}+\frac{1.1.sen144^\circ}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{1}{2}.(sen36^\circ+sen72^\circ+sen108^\circ+sen144^\circ)[/tex3]

[tex3]A=\frac{1}{2}.(2.sen72^\circ.cos36^\circ+2.sen108^\circ.cos36^\circ)[/tex3]

[tex3]A=\frac{2}{2}.cos36^\circ.(2.sen90^\circ.cos18^\circ)[/tex3]

[tex3]A=2.cos18^\circ.cos36^\circ[/tex3]

b)
[tex3]cos36^\circ=cos(2.18) \Rightarrow cos36^\circ=cos^218^\circ-sen^218^\circ[/tex3]
[tex3]cos36^\circ=cos^218^\circ-(1-cos^218^\circ)[/tex3]
[tex3]cos36^\circ=2.cos^218^\circ-1[/tex3]

Mas:

[tex3]cos18^\circ=m \Rightarrow cos36^\circ=2m^2-1[/tex3]

Então:

[tex3]A=2.cos18^\circ.cos36^\circ[/tex3]
[tex3]A=2m.(2m^2-1)[/tex3]

[Cruzado]

Estava olhando a resolução dessa questão e tive algumas dúvidas. Por que os lados dos triângulos medem 1? E de acordo com o gabarito do meu livro a resposta é [tex3]\sin 36 + \sin 72[/tex3]. Alguém pode me esclarecer essas dúvidas?

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