Pré-Vestibular ⇒ (UNB - 1998) Números Complexos

[Auto Excluído (ID:3002)]

Um antigo pergaminho continha as seguintes instruções para se encontrar um tesouro enterrado em uma ilha deserta: Ao chegar à ilha, encontre um abacateiro, uma bananeira e uma forca. Conte os passos da forca até o abacateiro; ao chegar ao abacateiro, gire [tex3]90^\circ[/tex3] para a direita e caminhe para frente o mesmo número de passos; neste ponto, crave uma estaca no solo. Volte novamente para a forca, conte o número de passos até a bananeira; ao chegar à bananeira, gire [tex3]90^\circ[/tex3] para a esquerda e caminhe para a frente o mesmo número de passos que acabou de contar; neste ponto, crave no solo uma segunda estaca. O tesouro será encontrado no ponto médio entre as duas estacas.
Um jovem aventureiro resolveu seguir as instruções para localizar o tesouro e, sendo um bom conhecedor de números complexos, reproduziu o mapa no plano complexo, identificando a forca com a origem, o abacateiro com o número [tex3]A = 7+i[/tex3] e a bananeira com o número [tex3]B = 1+3i[/tex3]. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
(JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA)

(1) O menor ângulo entre os números complexos [tex3]A[/tex3] e [tex3]iA[/tex3] é igual a [tex3]90^\circ[/tex3].
(2) O ponto médio entre os números complexos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] é dado por [tex3]\frac{A-B}{2}[/tex3].
(3) A primeira estaca foi cravada no ponto [tex3]A-iA[/tex3].
(4) Seguindo as instruções do mapa, o aventureiro encontraria o tesouro no ponto da ilha corresponde ao número complexo [tex3]3-i[/tex3].

[fabit]

(1) C (uma das definições de [tex3]i[/tex3] é operador rotacional de ângulo reto).
(2) E (é sempre [tex3]\frac{A+B}{2}[/tex3]).
(3) C (rodar [tex3]90[/tex3] graus para a direita é multiplicar por [tex3]{-i}[/tex3], ficando [tex3]iA[/tex3] que foi somado com a posição [tex3]A[/tex3]).
(4) C ([tex3]A-iA[/tex3] deu [tex3]8-6i[/tex3] e [tex3]B+iB[/tex3] deu [tex3]{-}2+4i[/tex3], cujo ponto médio é [tex3]3-i[/tex3]).