Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 2009) Análise Combinatória

[Auto Excluído (ID:3002)]

Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, [tex3]10[/tex3] garrafas de vinho de um lote constituído por [tex3]4[/tex3] garrafas da Espanha, [tex3]5[/tex3] garrafas da Itália e [tex3]6[/tex3] garrafas da França, todas de diferentes marcas.

a) De quantas maneiras é possível escolher [tex3]10[/tex3] garrafas desse lote?

Resposta

---

[tex3]3003[/tex3].

b) De quantas maneiras é possível escolher [tex3]10[/tex3] garrafas do lote, sendo [tex3]2[/tex3] garrafas da Espanha, [tex3]4[/tex3] da Itália e [tex3]4[/tex3] da França?

Resposta

---

[tex3]450[/tex3].

c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, [tex3]10[/tex3] garrafas do lote, haja exatamente [tex3]4[/tex3] garrafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?

Resposta

---

[tex3]\simeq 34,8\%[/tex3].

[jacobi]

Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, [tex3]10[/tex3] garrafas de vinho de um lote constituído por [tex3]4[/tex3] garrafas da Espanha, [tex3]5[/tex3] garrafas da Itália e [tex3]6[/tex3] garrafas da França, todas de diferentes marcas.

a) De quantas maneiras é possível escolher [tex3]10[/tex3] garrafas desse lote?

[tex3]\frac{15.14.13.12.11.10.9.8.7.6}{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1} = 3003[/tex3]

b) De quantas maneiras é possível escolher [tex3]10[/tex3] garrafas do lote, sendo [tex3]2[/tex3] garrafas da Espanha, [tex3]4[/tex3] da Itália e [tex3]4[/tex3] da França?

[tex3]\frac{4.3}{2.1} . \frac{5.4.3.2}{4.3.2.1} . \frac{6.5.4.3}{4.3.2.1} = 450[/tex3]

[joaopcarvMOD]

Adoro responder a essas questões antigas da FUVEST... kkkk.

[tex3]a)[/tex3]

Admitindo que os vinhos do mesmo país são diferentes... (por exemplo, de outra marca, região, época, etc)...

Temos um total de :

[tex3]\underbrace{4}_\text{espanhois} \ + \ \underbrace{5}_\text{italianos} \ + \ \underbrace{6}_\text{franceses} \ = \ 15 \ vinhos \ ! [/tex3]

Vamos escolher [tex3]10[/tex3] garrafas de um lote de [tex3]15[/tex3] garrafas no total. Como a ordem das garrafas não nos interessa, descartamos permutações internas. Por isso, fazemos a seguinte combinação :

[tex3]C_{(15,10)} \ = \ \binom{15}{10} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{15!}{(15 \ - \ 10)! \ . \ 10!}[/tex3]

[tex3]\frac{15 \ . \ 14 \ . \ 13 \ . \ 11 \ . \cancel{\ 12 \ . \ 10} \ . \cancel{9!}}{\cancel{5!} \ . \ 10 \ . \cancel{9!}}[/tex3]

[tex3]\frac{30030}{10}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{3003 \ combinações \ diferentes \ !}}[/tex3]

[tex3]b)[/tex3]

A ordem das garrafas não importa... permutações internas descartadas [tex3]\rightarrow[/tex3] combinação...

Para os vinhos espanhois [tex3]\rightarrow[/tex3]

Escolher [tex3]2[/tex3] de [tex3]4[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]C_{(4,2)} \ = \ \binom{4}{2} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{4!}{(4 \ - \ 2)! \ . \ 2!} \ = [/tex3]

[tex3]\frac{4!}{2! \ . \ 2!} \ =[/tex3]

[tex3]6 \ combinações \ para \ os \ vinhos \ espanhois ![/tex3]

Para os vinhos italianos [tex3]\rightarrow[/tex3]

Escolher [tex3]4[/tex3] de [tex3]5[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]C_{(5,4)} \ = \ \binom{5}{4} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{5!}{(5 \ - \ 4)! \ . \ 4!} \ = [/tex3]

[tex3]\frac{5!}{1! \ . \ 4!} \ =[/tex3]

[tex3]5 \ combinações \ para \ os \ vinhos \ italianos ![/tex3]

Para os vinhos franceses [tex3]\rightarrow[/tex3]

Escolher [tex3]4[/tex3] de [tex3]6[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]C_{(6,4)} \ = \ \binom{6}{4} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{6!}{(6 \ - \ 4)! \ . \ 4!} \ = [/tex3]

[tex3]\frac{6!}{2! \ . \ 4!} \ =[/tex3]

[tex3]15 \ combinações \ para \ os \ vinhos \ franceses ![/tex3]

Como é para escolher [tex3]2[/tex3] da Espanha E [tex3]4[/tex3] da Itália E [tex3]4[/tex3] da França, utilizamos a "regra do E" :

[tex3]\underbrace{6}_\text{Espanha} \ . \underbrace{ 5}_\text{Itália} \ . \ \underbrace{15}_\text{França} \ = [/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{450 \ combinações \ possíveis \ !}}[/tex3]

[tex3]c)[/tex3]

Temos o seguinte panorama [tex3]\rightarrow[/tex3]

Para as garrafas italianas, vamos calcular de quantas formas podemos combinar [tex3]4[/tex3] de [tex3]5[/tex3]. Já fizemos esse cálculo ([tex3]C_{(5,4)}[/tex3]) que dá [tex3]5[/tex3].

Vamos agora ver como podemos organizar as garrafas restantes [tex3]\rightarrow[/tex3]

De [tex3]10[/tex3], já foram [tex3]4[/tex3]. Restam [tex3]6[/tex3], dentre os vinhos franceses e espanhois.

Podemos ter :

[tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]5[/tex3] franceses e [tex3]1[/tex3] espanhol :

Há [tex3]C_{(6,5)} \ . \ C_{(4,1)} \ = \ 6 \ . \ 4 \ = 24[/tex3] formas de se combinar assim;

[tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]4[/tex3] franceses e [tex3]2[/tex3] espanhois :

Há [tex3]C_{(6,4)} \ . \ C_{(4,2)} \ = \ \frac{6!}{\cancel{4!} \ . \ 2!} \ . \ \frac{\cancel{4!}}{2! \ . \ 2!} \ = \ \frac{720}{8} \ = \ 90[/tex3] formas de se combinar dessa forma;

[tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]3[/tex3] franceses e também espanhois :

Há [tex3]C_{(6,3)} \ . \ C_{(4,3)} \ = \ \frac{6!}{3! \ . \ 3!} \ . \ \frac{4!}{3! \ . \ 1!} \ = \ \frac{\cancel{6} \ . \ 5 \ . \ 4 \ . \ \cancel{3!} \ . \ 4 \ . \cancel{3!}}{\cancel{3!} \ . \ \cancel{3!} \ . \ \cancel{3!}} \ = \ 80[/tex3] possibilidades !

[tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]2[/tex3] franceses e [tex3]4[/tex3] espanhois :

Há [tex3]C_{(6,2)} \ . \ C_{(4,4)} \ = \ \frac{6!}{4! \ . \ 2!} \ . \ \cancelto{1}{\frac{4!}{(4 \ - \ 4)! \ . \ 4!}} \ = \ \frac{6 \ . \ 5 \ . \cancel{4!}}{\cancel{4!} \ . \ 2!} \ = \ 15[/tex3] possibilidades desse jeito !

Não há mais como, pois os vinhos espanhois são o limitante aqui.

Veja que, para as combinações que acabamos de fazer entre franceses e espanhois, estamos falando de eventos independentes, ou seja, "regra do OU" :

[tex3]24 \ + \ 90 \ + \ 80 \ + \ 15 \ = [/tex3]

[tex3]209[/tex3] combinações totais entre vinhos franceses e espanhois !

Agora sim, vamos juntar as combinações totais de italianos E as combinações totais de franceses com espanhois :

[tex3]\underbrace{5}_\text{italianos} \ . \ \underbrace{209}_\text{espanhois e franceses}[/tex3] \ = \

[tex3]1045[/tex3] possilibilidades totais favoráveis !

A probabilidade pedida é a razão entre essas possilibilidades totais favoráveis e as totais ([tex3]3003[/tex3]) :

[tex3]\frac{1045}{3003} \ \rightarrow \boxed{\boxed{ \approx \ 34,8 \%}}[/tex3]