Estude! Com Prof. Caju

O valor mínimo da função real [tex3]f(x)=x^x[/tex3] ocorre para [tex3]x[/tex3] igual a

(A) [tex3]\frac{1}{e}[/tex3].
(B) [tex3]\frac{2}{e}[/tex3].
(C) [tex3]e[/tex3].
(D) [tex3]e+1[/tex3].
(E) [tex3]e^2-1[/tex3].

[tex3]y=x^x\\
\therefore\; \ln(y)=\ln(x^x)=x\ln x[/tex3]

Diferenciando ambos os lados:

[tex3]\frac{1}{y}\cdot y'=\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}=\ln(x)+1[/tex3]

Assim:

[tex3]y'=y(ln(x)+1)=x^x(\ln(x)+1)[/tex3]

Para ser o mínimo: [tex3]\ln(x)+1=0\;\therefore\;x=e^{-1}[/tex3]