IME / ITA ⇒ (Escola Naval CPAPCM - 2007) Função Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considere [tex3]h[/tex3] um função real de variável real, tal que [tex3]h'(x)=sen(sen(x+1))[/tex3], [tex3]h(0)=3[/tex3] e [tex3]g(x)=h(2x+1)[/tex3]. Pode-se afirmar que [tex3](g^{-1})'(3)[/tex3] vale

(A) [tex3]\frac{1}{sen(sen1)}[/tex3].
(B) [tex3]\frac{1}{2sen(sen2)}[/tex3].
(C) [tex3]\frac{1}{sen(sen8)}[/tex3].
(D) [tex3]\frac{1}{2sen(sen1)}[/tex3].
(E) [tex3]\frac{1}{sen(sen4)}[/tex3].

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Vamos utilizar a seguinte propriedade.

Sendo [tex3]f(x)[/tex3] uma função invertível, e [tex3]f^{-1}(x)[/tex3] a sua inversa com ambas admitindo derivadas finitas em pontos correspondentes, tem-se, nesses pontos:

[tex3](f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(x)}[/tex3]

Portanto, o que o exercício pede é [tex3](g^{-1})'(3)=\frac{1}{g'(3)}[/tex3].

Sendo [tex3]g(x)=h(2x+1)[/tex3], temos que [tex3]g'(x)=h'(2x+1)[/tex3].

Sendo [tex3]h'(x)=\sin(\sin(x+1))[/tex3], temos que [tex3]g'(x)=h'(2x+1)=\sin(\sin(2x+2))[/tex3]

Agora podemos ter a resposta final do exercício:

[tex3]\boxed{(g^{-1})'(3)=\frac{1}{g'(3)}=\frac{1}{\sin(\sin(8))}}[/tex3]

[John]

Então, acho que a solução acima não está correta.

Se [tex3]f(x)[/tex3] é inversível, com inversa [tex3]f^{-1}(x)[/tex3], temos que: [tex3](f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}[/tex3] para todo [tex3]x \in D(f^{-1})[/tex3], supondo que [tex3]f[/tex3] e [tex3]f^{-1}[/tex3] sejam diferenciáveis.

Pelo enunciado, [tex3](g^{-1})'(3) = \frac{1}{g'(g^{-1}(3))}[/tex3].

Como [tex3]g(-1/2) = h(0) = 3[/tex3], segue que [tex3]g^{-1}(3) = -\frac{1}{2}[/tex3].

Por outro lado, usando a regra da cadeia, temos que: [tex3]g'(x) = h'(2x+1)(2x+1)' = 2h'(2x+1)[/tex3]. Assim, [tex3]g'(-1/2) = 2h'(0) = sen(sen(1))[/tex3].

Portanto,

[tex3](g^{-1})'(3) = \frac{1}{g'(g^{-1}(3))} = \frac{1}{g'(-1/2)} = \frac{1}{sen(sen(1))}[/tex3].