Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica: Reta e Circunferência Tópico resolvido

[Rodrigotmacedo]

Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta [tex3]3x-y=37[/tex3] e tangentes à cincunferência [tex3]x^{2}+y^{2}-2x-y=0[/tex3].
Se d1 é a distância de r1 até a origem e d2 é a distância de r2 até a origem, então d1+d2 é igual a:
a) [tex3]\sqrt{12}[/tex3]
b) [tex3]\sqrt{15}[/tex3]
c) [tex3]\sqrt{7}[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{10}[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{5}[/tex3]

[marco_sx]

Olá Rodrigotmacedo.

[tex3]x^2+y^2-2x-y=0 \Rightarrow (x^2-2x+1)+(y^2-y+\frac{1}{4})=1+\frac{1}{4} \Rightarrow (x-1)^2+(y-\frac{1}{2})^2=(\frac{\sqrt{5}}{2})^2[/tex3]

Portanto a circunferência tem centro [tex3](1,\frac{1}{2})[/tex3] e raio [tex3]\frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3].

As retas [tex3]r_1[/tex3] e [tex3]r_2[/tex3] são do tipo: [tex3]3x-y+k=0[/tex3].

A distância do centro da circunferência à qualquer uma das retas é igual ao raio.

[tex3]\frac{|3.1-1.\frac{1}{2}+k|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{\sqrt{5}}{2} \Rightarrow |\frac{5}{2}+k|=\frac{5.\sqrt{2}}{2} \Rightarrow k=\frac{5}{2}.(\sqrt{2}-1)[/tex3] ou [tex3]k=-\frac{5}{2}.(\sqrt{2}+1)[/tex3]

[tex3]r_1:3x-y+\frac{5}{2}.(\sqrt{2}-1)=0[/tex3] e [tex3]r_2:3x-y-\frac{5}{2}.(\sqrt{2}+1)=0[/tex3]

Basta calcular as distâncias pedidas: [tex3]d_1=\frac{5}{2}.\frac{(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{10}}[/tex3] e [tex3]d_2=\frac{5}{2}.\frac{(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{10}}[/tex3]

Portanto: [tex3]d_1+d_2=\sqrt{5}[/tex3]

[Mistra]

Olá, é possível resolver essa questão por meio de derivada implícita?

[Auto Excluído (ID:12031)]

Mistra, deriva a equação [tex3]x^{2}+y^{2}-2x-y=0[/tex3] em relação a variável x:
[tex3]2x+2yy'-2-y'=0[/tex3]
como a tangente é paralela a reta dada no enunciado queremos [tex3]y'=3[/tex3] de onde:
[tex3]2x + 6y -5=0 \iff 2x + 6y = 5[/tex3]
agora é resolver o sistema:
[tex3]\begin{cases}
x^{2}+y^{2}-2x-y=0 \\
2x+6y=5
\end{cases}[/tex3]
que dá: [tex3]x = 1 \pm \frac3{2\sqrt2}[/tex3] e [tex3]y = \frac12 \mp \frac1{2\sqrt2}[/tex3]
dai teria que encontrar as retas e jogar na fórmula de distância, dá muita conta