Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1981) Geometria Analítica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

As tangentes à parábola [tex3]x=\frac{1}{3}(y^2+3)[/tex3], que passam pela origem, formam o ângulo [tex3]\alpha[/tex3], cujo valor é

a) [tex3]arctg\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3].
b) [tex3]arctg(-\frac{\sqrt{3}}{2})[/tex3].
c) [tex3]2arctg\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3].
d) [tex3]arctg\sqrt{3}[/tex3].
e) [tex3]arctg2[/tex3].

Resposta

---

c

[theblackmamba]

Se as tangentes passam pela origem então elas são da forma [tex3]y=mx[/tex3], onde [tex3][/tex3] é o coeficiente angular.


Um detalhe importante é perceber que a função da parábola é par, ou seja, [tex3]f(y)=f(-y)[/tex3]. Logo, ela é simétrica em relação ao eixo das abcissas. Uma vez que a parábola é simétrica então as retas tangentes também serão, ou seja, [tex3]m_r=-m_s=m[/tex3].

Substituindo:

[tex3]3x=m^2x^2+3[/tex3]
[tex3]m^2x^2-3x+3=0[/tex3]

Para haver um ponto devemos ter [tex3]\Delta =0[/tex3]

[tex3]9-12m^2=0[/tex3]
[tex3]m^2=\frac{3}{4}[/tex3]
[tex3]m=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Isso quer dizer que o ângulo entre uma reta e o eixo x vale [tex3]\arctan \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]. Mas estamos interessados no dobro desse ângulo, então a reposta é [tex3]\boxed{2\cdot \arctan \frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex3]

Abraço.