Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1985) Matrizes

[ALDRINMOD]

Seja [tex3]f:M(3) \to \mathbb{R}[/tex3] a função definida por [tex3]f(A)=\det A[/tex3]. Sabendo-se que [tex3]M(3)[/tex3] é o conjunto das matrizes reais [tex3]3 \time 3[/tex3] e [tex3]\det A[/tex3] é o determinante de [tex3]A[/tex3], conclui-se que

a) [tex3]f[/tex3] é injetiva.
b) [tex3]f[/tex3] é sobrejetiva.
c) [tex3]f(A+B)=f(A)+f(B)[/tex3].
d) [tex3]f(\lambda A)=\lambda f(A)[/tex3] para todo [tex3]\lambda \in \mathbb{R}[/tex3].
e) Se [tex3]f(A)=0[/tex3], então [tex3]A=0[/tex3].

[fabit]

Letra B.

Existem infinitas matrizes não nulas com determinante nulo, o que já torna falsas "a" e "e".

Se [tex3]\lambda=2[/tex3], o certo é [tex3]f(2A)=2^3f(A)[/tex3].

Não é transformação linear, basta subdividir a matriz identidade como soma de duas diagonais, assim

Matriz A: [tex3]a_{11}=1;a_{22}=1;\text{0 no resto}[/tex3]
Matriz B: [tex3]b_{33}=1;\text{0 no resto}[/tex3]

Temos os determinantes de A e B dando 0 e o de A+B dando 1.

Resta provar que é sobrejetiva mesmo.
[tex3]\forall y\in\mathbb{R};\exists A\in M(3)|f(A)=y[/tex3], basta exibir a matriz A: [tex3]a_{11}=y;a_{22}=1;a_{33}=1;\text{0 no resto}[/tex3]