IME / ITA ⇒ (IME/CG - 2000) Números Complexos Tópico resolvido

[alineMOD]

Aiaiaiai,esses números complexos de novo...

Considere os numeros complexos z tais que [tex3]\left|z+\frac{1}{z}\right|=1[/tex3].Determine o valor máximo do modulo de z.

bjos

[Daniel Hartmann]

Olá aline. Eu tentei resolver...

Sendo [tex3]z=a + bi[/tex3] (com [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] pertencentes aos reais), temos:

[tex3]\left|(a+bi) + \frac{1}{a+bi}\right|=1[/tex3]

[tex3]\left|(a+bi) + \frac{1}{a+bi}\cdot \frac{a-bi}{a-bi}\right|=1[/tex3]

[tex3]\left|(a+bi) + \frac{a-bi}{a^2+b^2}\right|=1[/tex3]

[tex3]\left|\frac{(a^2+b^2)\cdot (a+bi)}{a^2+b^2}+\frac{a-bi}{a^2+b^2}\right|=1[/tex3]

[tex3]\left|\frac{a^3+a^2bi+ab^2+b^3i}{a^2+b^2}+\frac{a-bi}{a^2+b^2}\right|=1[/tex3]

[tex3]\left|\frac{a^3+ab^2+a}{a^2+b^2}+\frac{b^3i+a^2bi-bi}{a^2+b^2}\right|=1[/tex3]

[tex3]\left|\left[\frac{a\cdot (a^2+b^2+1)}{a^2+b^2}\right]+\left[\frac{b\cdot (a^2+b^2-1)}{a^2+b^2}\right]\cdot i\right|=1[/tex3]

Ufa... temos então o valor do módulo de um número complexo, em função do número [tex3]z[/tex3] inicial. Se o problema pediu para considerar todos os número complexos escritos nessa forma final que possuem módulo igual a 1, veja o que nós temos (de acordo com o meu pensamento):

14_grfico_1.jpg (6.78 KiB) Exibido 235 vezes

Então, olhando ali em cima, qual o maior ponto (que provavelmente propiciaria o maior módulo para [tex3]z[/tex3])? Ora, é (0,1). Portanto, a parte REAL do complexo vale zero, e a parte IMAGINÁRIA vale um. De acordo com o que eu encontrei anteriormente, podemos escrever:

[tex3]\frac{a\cdot (a^2 +b^2+1)}{a^2+b^2}=0[/tex3]

[tex3]a(a^2+b^2+1)=0[/tex3]

Aqui podemos ter:
[tex3]a^2 + b^2+1=0 \rightarrow a^2+b^2=-1[/tex3] (o que soa a um certo absurdo, dado que a soma dos quadrados de dois números reais não pode ser negativa)

OU

[tex3]a=0[/tex3] (o que passarei a considerar)

Agora, a parte imaginária:

[tex3]\frac{b\cdot (a^2+b^2-1)}{a^2+b^2}=1[/tex3]

Como a=0:

[tex3]\frac{b\cdot (b^2-1)}{b^2}=1[/tex3]

[tex3]b^3-b=b^2[/tex3]
[tex3]b^3-b^2-b=0[/tex3]
[tex3]b(b^2-b-1)=0[/tex3]

Agora, podemos ter:
[tex3]b=0[/tex3] (o que também soa a absurdo, pois como [tex3]a=0[/tex3], não teríamos um número complexo, apenas o 0, que possui módulo 0)

OU

[tex3]b^2-b-1=0[/tex3] (o que passarei a considerar)

Resolvendo essa equação, encontramos:
[tex3]b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3] ou [tex3]b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex3]. Como é pedido o valor máximo do módulo de [tex3]z[/tex3], podemos considerar que:

[tex3]z = a+bi[/tex3]

[tex3]z = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)i[/tex3]

O módulo desse número, então, é:

[tex3]\sqrt{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2}[/tex3], que resulta em [tex3]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3] (se você quiser voltar naquela figura e usar o ponto mínimo (0,-1), vai encontar o mesmo valor para o módulo de [tex3]z[/tex3]).

UFA... Será isso mesmo?!

Até mais!

[bigjohn]

Ae Daniel, caraca ficou grande seu post...
Cara, só não entendi pq escolher o ponto (0,1)... mas o resto está super bem explicado...
Também não consegui fazer esta questão... tou tentando...
vlw mlk

[cajuADMIN]

Olá Aline, Daniel e Bigjohn,

Como esta questão é do CG do IME, é permitido utilizar cálculo diferencial e integral, pois é parte do cronograma deste concurso. Note que falei CG e não CFG, que é o concurso no qual todos nós fazemos. CG é o concurso específico para os tenentes da Academia Agulhas Negras, que já tiveram essa matéria lá.

Bom, mas vamos lá. Começamos trocando o valor de Z por [tex3]Z=\rho\cdot \cis (\theta)[/tex3]

[tex3]\left|\rho\cdot \cis (\theta)+\frac{1}{\rho\cdot \cis (\theta)}\right|=1[/tex3]

[tex3]\left|\rho\cdot \cis (\theta)+\frac{1}{\rho}\cdot (\cis (\theta))^{-1}\right|=1[/tex3]

Agora podemos aplicar a fórmula de De Moivre para potenciação para números complexos:

[tex3]\left|\rho\cdot \cis (\theta)+\frac{1}{\rho}\cdot \cis (-\theta)\right|=1[/tex3]

[tex3]\left|\rho\cdot \cis (\theta)-\frac{1}{\rho}\cdot \cis (\theta)\right|=1[/tex3]

Agora devemos fazer a análise vetorial desta subtração:

2_complexo_2.jpg (10.11 KiB) Exibido 2879 vezes

Nesse gráfico representei o complexo [tex3]Z[/tex3] e o [tex3]\frac{1}{Z}[/tex3]

Agora é só aplicar uma lei dos co-senos no triângulo vermelho de lados 1, [tex3]\rho[/tex3] e [tex3]\frac{1}{\rho}[/tex3]

Veja que o ângulo deste triângulo mede [tex3]2\theta[/tex3]. Aplicando a lei:

[tex3]1^2=\rho^2+\frac{1}{\rho^2}-2\cdot\rho\frac{1}{\rho}\cdot\cos(2\theta)[/tex3]

[tex3]1=\rho^2+\frac{1}{\rho^2}-2\cdot\cos(2\theta)[/tex3]

Devemos então achar o valor máximo de [tex3]\rho[/tex3].
Derivando em relação [tex3]\theta[/tex3]

[tex3]0=2\rho\cdot\frac{d\rho}{d\theta}-\frac{2}{\rho^{3}}\cdot\frac{d\rho}{d\theta}-4\sen(2\theta)[/tex3]

[tex3]\frac{d\rho}{d\theta}=\frac{2\sen(2\theta)}{\rho-\frac{1}{\rho^3}}[/tex3]

Agora igualamos a ZERO para encontrar o válor de máximo:

[tex3]0=\frac{2\sen(2\theta)}{\rho-\frac{1}{\rho^3}}[/tex3]

[tex3]0=2\sen(2\theta)[/tex3]

[tex3]\theta=0^{\circ}[/tex3]

Agora voltamos para a equação original, substituímos o valor de [tex3]\theta[/tex3] para encontrar o valor de [tex3]\rho[/tex3] correspondente.

[tex3]1=\rho^2+\frac{1}{\rho^2}-2\cdot\cos(90^{\circ})[/tex3]

[tex3]3=\rho^2+\frac{1}{\rho^2}[/tex3]

[tex3]\rho^4-3\rho^2+1=0[/tex3]

Resolvendo esta equação biquadrada encontramos o valor de [tex3]\rho[/tex3].

Como já está super grande este post, deixo esta equação para alguém que quiser terminar. Obrigado,

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br

[Daniel Hartmann]

Olá todo mundo! Eu tentei terminar a equação biquadrada enontrada pelo Prof. caju e encontrei o mesmo valor: [tex3]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3] (fatorando, mas encontrei)...

[LeoJaques]