IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1981) Sistema

[agp16]

Sobre o sistema [tex3]\begin{cases}
ax^2+y=1 \\
x+y=a
\end{cases}[/tex3] Podemos afirmar:

a) Para [tex3]a=1[/tex3], o sistema é indeterminado.
b) Para [tex3]a={-}1[/tex3], o sistema é determinado.
c) Para [tex3]a[/tex3] diferente 1, o sistema é impossível.
d) Para [tex3]a=0[/tex3], [tex3]x=y=2[/tex3].
e) Para [tex3]a={-}1[/tex3], [tex3]x=y=3[/tex3].

[fabit]

A primeira é verdadeira, pois para [tex3]a=1[/tex3] o sistema fica:
[tex3]\begin{cases}x^2+y=1\\x+y=1\end{cases}[/tex3] e isso significa [tex3]x^2=x[/tex3], que tem soluções x=0 e x=1. O sistema admite as soluções (1,0) e (0,1) e portanto é indeterminado.

Apenas para verificar se aquestão não deve ser anulada, vejamos as demais.

b) Com [tex3]a=-1[/tex3] fica [tex3]\begin{cases}x^2-y=-1\\x+y=-1\end{cases}[/tex3] Somando temos [tex3]x^2+x=-2[/tex3]. Serão outras raízes e isso levará a diferentes pares ordenados, mas ainda assim haverá mais que uma solução. FALSA.
c) Vejamos [tex3]a=2[/tex3] só pra testar. Fica [tex3]\begin{cases}2x^2+y=1\\x+y=2\end{cases}[/tex3] Subtraindo fica [tex3]x-2x^2=1[/tex3] Duas raízes. FALSA.
d) [tex3]a=0\Rightarrow\begin{cases}y=1\\x+y=0\end{cases}[/tex3] y=1 e x=-1. FALSA.
e) Já vimos que há mais de uma solução, logo não se pode afirmar que x=y=3, pois isso é dizer que só (3,3) é solução. FALSA.

[Auto Excluído (ID:20808)]

No Rufino vol. 0 está:

[tex3]\begin{array}{l}
a^2x+y=1 \\
x+y=a
\end{array}[/tex3]

[fabit]

Então fica [tex3]\begin{pmatrix}
a^2 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \\
a \\
\end{pmatrix}[/tex3].

O determinante da matriz de coeficientes é [tex3]p(a)=a^2-1[/tex3], cujas raízes são [tex3]a=\pm1[/tex3]. Deste modo, fora desses dois valores de [tex3]a[/tex3], o sistema é possível e determinado. Já fica sendo FALSA a opção "C".

Para [tex3]a=-1[/tex3], a segunda equação fica [tex3]x+y=-1[/tex3] e a primeira fica [tex3]x+y=1[/tex3]. Contradição. Logo é impossível. Portanto "B" e "E" são FALSAS.

Já para [tex3]a=1[/tex3], as duas equações ficam idênticas. Portanto a reta [tex3]x+y=1[/tex3] inteira soluciona o sistema. Vemos que "A" é VERDADEIRA.

Poderia ser que "D" fosse verdadeira também. SÓ QUE NÃO: substituindo [tex3]a=0[/tex3] na primeira fica [tex3]y=1[/tex3] e nem precisa ver o [tex3]x[/tex3].