Ensino Superior ⇒ Regra de L'Hôpital - Limite II

[Aska]

Olá.

Pela regra de L'Hôpital, como resolver:

[tex3]\Large\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{ln (x+1)}{log_2 x})[/tex3]

Eu cheguei na resposta:

Resposta

---

[tex3](\frac{1}{2})[/tex3]

Mas a repsosta correta seria:

Resposta

---

[tex3]ln 2[/tex3]

Qual o erro?

Grata

[Thadeu]

Vamos mudar a base do logaritmo do denominador para "e"

[tex3]log_2x=\frac{ln\,x}{ln\,2}[/tex3]

Então:

[tex3]\lim_{x\to \infty}\(\frac{ln(x+1)}{\frac{ln\,x}{ln\,2}}\)=\lim_{x\to \infty}\,(ln\,2)\[\frac{ln(x+1)}{ln\,x}\]=ln2\,\lim_{x\to \infty}\frac{ln(x+1)}{lnx}[/tex3]

Usando a regra de L'Hospital, [tex3]\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex3]

[tex3]ln2\,\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{x+1}}{\frac{1}{x}}=ln2\,\lim_{x\to \infty}\frac{x}{x+1}[/tex3]

Lembrando que o limite do polinômio é o limite do termo de maior grau, teremos:

[tex3]ln2\,\lim_{x\to \infty}\,\frac{x}{x}=ln2\,\lim_{x\to \infty}\,1=ln2\,.\,1=ln2[/tex3]

[Natan]

Uma pergunta, no limite:

[tex3]\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x+1}[/tex3]

porque não é possível aplicar L'Hospital ? já que se fizermos isso o limite da 0,5.

?????????

[Thadeu]

Natan, podemos aplicar L'Hospital sim, veja que derivando o numerador e o denominador ficará [tex3]\lim_{x\to \infty} \(\frac{1}{1} \)=\lim_{x\to \infty}1=1[/tex3]

O resultado ficará o mesmo

[Natan]

ah tá, eu derivei em baixo mas esqueci de anular o 1.

valeu!