IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2010) Geometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

As circunferências da figura abaixo possuem centro nos pontos [tex3]T[/tex3] e [tex3]Q[/tex3], têm raios [tex3]3\text{ cm}[/tex3] e [tex3]2\text{ cm}[/tex3], respectivamente, são tangentes entre si e tangenciam os lados do quadrado [tex3]ABCD[/tex3] nos pontos [tex3]P,\, R,\, S[/tex3] e [tex3]U[/tex3].

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Qual o valor da área da figura plana de vértices [tex3]P,\, T,\, Q,\, R[/tex3] e [tex3]D[/tex3] em [tex3]cm^2[/tex3]?

(A) [tex3]\frac{\(7\sqrt2+18\)}{2\sqrt2}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{\(50\sqrt2+23\)}{8}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{\(15\sqrt2+2\)}{4}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{\(30\sqrt2+25\)}{4}[/tex3]
(E) [tex3]\frac{\(50\sqrt2+49\)}{4}[/tex3]

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.

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A diagonal [tex3]AC[/tex3] do quadrado maior é dada por:

[tex3]D=AT+TQ+QC \Rightarrow D=3\sqrt{2}+5+2\sqrt{2} \Rightarrow D=5+5\sqrt{2}cm[/tex3]

[tex3]D=L\sqrt{2} \Rightarrow L=\frac{\sqrt{2}}{2}D \Rightarrow L=\frac{\sqrt{2}}{2}\(5+5\sqrt{2}\) \Rightarrow L=\frac{5\sqrt{2}+10}{2}cm[/tex3]

[tex3]PD=AD-AP \Rightarrow PD=\frac{5\sqrt{2}+10}{2}-3 \Rightarrow PD=\frac{5\sqrt{2}+4}{2}cm[/tex3]

[tex3]FR=L-5 \Rightarrow FL=\frac{5\sqrt{2}+10}{2}-5 \Rightarrow FR=\frac{5\sqrt{2}}{2}cm[/tex3]

A área da figura é igual a área do retângulo mais a área do trapézio.

[tex3]A=3\cdot \(\frac{5\sqrt{2}+4}{2}\)+\frac{\(\frac{5\sqrt{2}+4}{2}+2\)\cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}}{2} \Rightarrow A=\frac{50\sqrt{2}+49}{4}cm^2[/tex3]

Alternativa:E