Ensino Médio ⇒ Distância entre cidades

[DANDARA]

Os professores Rodrigo Cristian e Karla Patrícia observaram que um grupo de alunos estava estudando para o concurso em plena aula de Matemática, envolvidos com a seguinte questão. “Dois carros deixam simultaneamente as cidades A e B indo de uma cidade em direção à outra, com velocidades constantes, e em sentidos opostos. As duas cidades são ligadas por uma estrada reta. Quando o carro mais rápido chega ao ponto médio M de AB, a distância entre os dois carros é de 96 km. Quando o carro mais lento chega ao ponto M, os carros estão a 160 km um do outro. Qual a distância, em km, entre as duas cidades”? Os professores bem humorados resolveram a questão para o grupo, concluindo que a distância entre as cidades, dada em km, é:
R: C

A) 320
B) 420
C) 480
D) 520
E) 560

[adrianotavares]

Olá,DANDARA.

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[tex3]2x[/tex3]--> distância entre as cidades

[tex3]2[/tex3]--> carro mais veloz

[tex3]1[/tex3]--> carro mais lento

Primeira situação:

A distância percorrida por [tex3]2[/tex3] para chegar em [tex3]M[/tex3] é igual a [tex3]x[/tex3] e a distância percorrida por [tex3]1[/tex3] para chegar em [tex3]D[/tex3] é igual a [tex3](x-96)[/tex3].Como eles partiram no mesmo instante, o tempo gasto para ambos chegarem nos seus respectivos pontos são iguais.

[tex3]\frac{9x-96)}{v_1}=\frac{x}{v_2} \Rightarrow \frac{v_1}{v_2}=\frac{(x-96)}{x}[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

Segunda situação:

Considerando o tempo desde o início, distância percorrida por [tex3]2[/tex3] para chegar no ponto [tex3]E[/tex3] é igual a [tex3](x+160)[/tex3] e a distância percorrida por [tex3](1)[/tex3] para chegar em [tex3]M[/tex3] é igual a [tex3]x[/tex3].De maneira análoga a primeira situação teremos:

[tex3]\frac{x}{v_1}=\frac{(x+160)}{v_2} \Rightarrow \frac{v_1}{v_2}=\frac{x}{(x+160)}[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

Igualando [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii)[/tex3] teremos:

[tex3]\frac{x-96}{x}=\frac{x}{x+160} \Rightarrow x^2=x^2+160x-96x-15360 \Rightarrow 64x=15360 \Rightarrow x=240[/tex3]

[tex3]2x=2.240=480[/tex3]

Alternativa:C

[DANDARA]

Obrigada adrianotavares pela resposta.