Pré-Vestibular ⇒ (UFF-RJ - 1997) Geometria Plana

[ALDRINMOD]

Determine a área da região hachurada na figura abaixo, sabendo que todas as circunferências têm raio [tex3]r[/tex3].

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[fabit]

No círculo do meio, que contem totalmente a área S que buscamos, ligue os pontos de interseção com os demais círculos para formar o haxágono regular inscrito.

Os lados do hexágono cortarão ao meio cada uma daquelas 6 "areazinhas em forma de peixinhos" que correspondem às interseções o círculo do meio com cada um dos periféricos.

A área do hexágono é 6 vezes a área de triângulos equiláteros de raio r: [tex3]6\times\frac{r^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3r^2\sqrt{3}}{2}[/tex3].

Tirando essa área da área do círculo central, temos [tex3]\frac{S}{2}=\pi r^2-\frac{3r^2\sqrt{3}}{2}[/tex3].
(É S/2 porque os "peixinhos" estão cortados ao meio)

Logo [tex3]S=r^2\(2\pi-3\sqrt{3}\)[/tex3].