IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2001) Equação Biquadrada Tópico resolvido

[Flavio2008]

A equação [tex3]x^4-(a-6)x^2+(9-a)=0[/tex3], na variável [tex3]x[/tex3], tem quatro razes reais e distintas, se e somente se:

a) [tex3]a\gt 8\hspace{40px}[/tex3] b) [tex3]6<a<8\hspace{40px}[/tex3] c) [tex3]8<a<9 \hspace{40px}[/tex3] d) [tex3]6<a<9\hspace{40px}[/tex3] e) [tex3]a\gt 9\hspace{40px}[/tex3]



[tex3]\,[/tex3]

[Alexandre_SC]

pelo método mais óbvio

[tex3]y = x^2[/tex3]

[tex3]y^2-(a-6)y+(9-a)=0[/tex3]

[tex3]0\lt\Delta =(a-6)^2-4(9-a) = a^2-12a+36-36+4a = a^2-8a[/tex3]

[tex3]a^2-8a\gt0[/tex3]
raíses : [tex3]0 \,e\, 2\sqrt{2}[/tex3]

por esse método, que não funciona seria [tex3]R-[0,\, 2\cdot\sqrt{2}][/tex3]

vá lá pessoal mostre essa!
vou pensar um pouco antes de resolvê-la!

[Alexandre_SC]

como esse método não funciona eu pensei o seguinte tendo os pontos de máximo d mínimo pode-se definir a quantidade de raízes assim!

começa com quatro raízes

eu procuro os pondos críticos.

derivando essa equação tem-se [tex3]4x^3-2(a-6)x[/tex3]
pontos críticos:

[tex3]4x^3-2(a-6)x=0[/tex3]
x={[tex3]{-\sqrt{\frac{a-6}{2}}},\, 0,\,\sqrt{\frac{a-6}{2}}[/tex3]}
para ter quatro raízes
em x = [tex3]\pm\frac{\sqrt{2(a-6)}}{2}[/tex3] y deve ser negativo!

é tambem bom lembrar que que a deve ser maior que seis para evitar pois raíz quadada exige radicando maior ou igual a zero, mas o a igual a trez resultaria em trez pontos críticos sobrepostos em zero, ou o certo é dizer apenas um ponto crítico?
isso porque [tex3]x\in R\, e \, x=\sqrt{2(a-6)}{2}[/tex3] demorou para que eu percebesse isso!

como não há termo com expoente impar os dois valores são iguais.

[tex3]X^4-(a-6)X^2+(9-a)\lt0[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{2(a-6)}}{2}^4-(a-6)\frac{\sqrt{2(a-6)}}{2}^2+(9-a)\lt0[/tex3]

[tex3]\frac{(a-6)^2}{4}-\frac{(a-6)^2}{2}+(9-a)\lt0[/tex3]

[tex3]\frac{(a-6)^2}{4}-\frac{(a-6)^2}{2}+(9-a)\lt0[/tex3]

[tex3]\frac{(a-6)^2}{4}+(9-a)\gt0[/tex3]

[tex3]\frac{{a}^{2}-8\cdot a}{4}\gt0[/tex3]

[tex3]{a}^{2} - 8\cdot a \gt 0[/tex3]

raízes a=0 ou a = 8

conjunto solução R-(0,

mas temos outra condição que é o segundo ponto crítico deve ser maior que zero

[tex3]X^4-(a-6)X^2+(9-a)\gt0[/tex3]

[tex3]0^4-(a-6)0^2+(9-a)\gt0[/tex3]

[tex3](9-a)\gt0[/tex3]

[tex3]9\gt a[/tex3]

a partir disso chegamos a
[tex3]a \in (8, 9)[/tex3]

letra C de Jeans

Outra resposta que não corresponde à realidade

[Karl Weierstrass]

[tex3]\hspace{70px}x^4\,-\,(a\,-\,6)x^2\,+\,(9\,-\,a)\,=\,0[/tex3]

Façamos [tex3]x^2\,=\,z.[/tex3]

Então, segue que

[tex3]\hspace{70px}z^2\,-\,(a\,-\,6)z^2\,+\,(9\,-\,a)\,=\,0\hspace{40px}(*)[/tex3]

Para que a equação dada apresente 4 raízes reais distintas é necessário que

[tex3]\hspace{70px}(a\,-\,6)^2\,-\,4(9\,-\,a)\,\gt\,0\,\Longrightarrow\, a\,<\,0[/tex3] ou [tex3]a\,\gt\,8.[/tex3]

Além disso, se [tex3]z_1[/tex3] e [tex3]z_2[/tex3] são as raízes de [tex3](*),[/tex3] devemos ter

[tex3]\hspace{70px}z_1\,+\,z_2\,\gt\,0\,\Longrightarrow\,a-6\,\gt\,0\,\Longrightarrow\,a\,\gt\,6[/tex3]

e

[tex3]\hspace{70px}z_1\,\cdot\,z_2\,\gt\,0\,\Longrightarrow\,9\,-\,a\,\gt\,0\,\Longrightarrow\,a\,<\,9.[/tex3]

Portanto,

[tex3]a\,<\,0\,\, \text{ou}\,\,a\,\gt\,8 \\ \,\,\,\,\,\text{e}\\a\,\gt\,6\\\,\,\,\,\,\text{e}\\a\,<\,9 \,\Longrightarrow\,8\,<\,a\,<\,9.[/tex3]