Concursos Públicos ⇒ UFRN- vestibular 2010 -Geometria analitica Tópico resolvido

[cesaraugusto]

Três amigos – André (A), Bernardo (B) e Carlos (C) – saíram para caminhar, seguindo trilhas
diferentes. Cada um levou um GPS – instrumento que permite à pessoa determinar suas
coordenadas. Em dado momento, os amigos entraram em contato uns com os outros, para
informar em suas respectivas posições e combinaram que se encontrariam no ponto eqüidistante
das posições informadas.
As posições informadas foram: A (1, 5), B (6,0) e C (3,-3).
Com base nesses dados, conclui-se que, os três amigos se encontrariam no ponto:

[GilRodrigues]

[tex3]A(1,5) \ B(6,0) \ C(3,-3)[/tex3]

Ponto de encontro é o circuncentro [tex3]P(a,b)[/tex3]

Obs.: Isolando [tex3]a^2 + b^2[/tex3] em todas as equações..

Distância de P a A:

[tex3]r^2 = (1-a)^2 +(5-b)^2[/tex3]
[tex3]r^2 - 26 + 2a + 10b= a^2 + b^2[/tex3]

Distância de P a B:

[tex3]r^2 = (6-a)^2 + (0 -b)^2[/tex3]
[tex3]a^2 + b^2 = r^2 + 12a -36[/tex3]

Distância de P a C:

[tex3]r^2 = (3 - a)^2 + (-3-b)^2[/tex3]
[tex3]a^2 + b^2 = r^2 - 18 + 6a -6b[/tex3]

Igualando as distâncias de PB com PA..

[tex3]r^2 - 26 + 2a + 10b = r^2 + 12a -36[/tex3]
[tex3]10a - 10b = 10[/tex3]
[tex3]\boxed{a-b = 1}[/tex3]

PB com PC...

[tex3]r^2 + 12a - 36 = r^2 - 18 + 6a -6b[/tex3]
[tex3]6a + 6b = 18[/tex3]
[tex3]\boxed{a + b = 3}[/tex3]

[tex3]\left\{ \begin{array}{ll} \mbox{$a + b = 3$} \\ \mbox{$a - b = 1$} \end{array} \right\}[/tex3]

[tex3]\therefore[/tex3]

[tex3]a = 2 \ b = 1[/tex3]
O ponto então é: [tex3]\boxed{P(2,1)}[/tex3]