Ensino Médio ⇒ Matrizes Tópico resolvido

[Alexandre_SC]

Sejam A = (ajk) e B = (bjk) ; duas matrizes quadradas n x n; onde [tex3]a_{jk}[/tex3] e [tex3]b_{jk}[/tex3] são, respectivamente, os elementos da linha j e coluna k das matrizes A e B; defnidos por
[tex3]a_{jk} = \begin{cases} C_{j}^{k}\, \text{ se }\, j \geq k \\ C_{k,j}\, \text{ se }\, j \lt k\end{cases}[/tex3]

e
[tex3]b_{jk} = \sum_{p=0}^{jk}{(-2)^p \cdot C_{jk}^{p}}[/tex3]


O traço de uma matriz quadrada (cjk) de ordem n x n é defnido por [tex3]\sum_{p=1}^{n} c_{pp}[/tex3]. Quando n for ímpar, o traçco de A + B é igual a
A] n(n - 1)=3
B] (n - 1)(n + 1)/4
C] (n² - 3n + 2)/(n - 2):
D] 3(n - 1)=n
E] (n - 1)=(n ¡ 2)

Eu Não reconheço as séries e não consegui simplificá-las algebricamente, Bom proveito! Espero resoluções!
ou discuções.

[marco_sx]

Fala Alexandre!
Essa eu fiz ano passado e acertei! hehehe

[tex3]b_{jk}=\sum_{p=0}^{jk}{(-2)^p \cdot C_{jk}^{p}}=\sum_{p=0}^{jk}{(1)^{jk-p} \cdot (-2)^p \cdot C_{jk}^{p}}=(1-2)^{jk}=(-1)^{jk}[/tex3]

[tex3]tr(B)=b_{11}+b_{22}+...+b_{nn}=-1+1-1+1-....-1=-1[/tex3]

[tex3]tr(A)=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}=C_{1}^{1}+C_{2}^{2}+...+C_{n}^{n}=1+1+1+...+1=n[/tex3]

[tex3]tr(A+B)=tr(A)+tr(B)=n-1=\frac{(n-1).(n-2)}{n-2}=\frac{n^2-3n+2}{n-2}[/tex3]

[Alexandre_SC]

explique melhor porque [tex3]\sum_{n=0}^{k}{(-2)^p*C_k^n} = (-1)^k[/tex3]

eu fechei minha mente para essa questão!

[marco_sx]

Então Alexandre é só lembrar do seguinte:

[tex3](a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}{C_n^k . (a)^{n-k} . (b)^{k}}[/tex3]

Portanto eu só completei o somatório multiplicando por [tex3](1)^{jk-p}[/tex3].