Pré-Vestibular ⇒ (UFC - 2005) Sequência Aritmética

[vini_scien]

A sequência de números inteiros positivos [tex3]a_1=1, \ a_2, \ a_3[/tex3] está em progressão aritmética com razão positiva. Calcule o menor valor de [tex3]a_1+a_2+a_3[/tex3] para que a equação [tex3]a_1 x^2+a_2 x+ a_3=0[/tex3] tenha duas raízes reais e distintas.

Resposta

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[AlexandreHDK]

Como foi dito, [tex3]a_1[/tex3], [tex3]a_2[/tex3] e [tex3]a_3[/tex3] estão em progressão aritmética, então pode-se dizer que:
[tex3]a_1 = 1[/tex3]
[tex3]a_2 = 1 + r[/tex3]
[tex3]a_3 = 1 + 2r[/tex3]

Sendo [tex3]r[/tex3] a razão desta progressão aritmética, e também sabemos que [tex3]r[/tex3] deve ser um inteiro positivo (já que [tex3]a_1[/tex3], [tex3]a_2[/tex3] e [tex3]a_3[/tex3] são inteiros positivos).

Temos a seguinte equação do segundo grau:

[tex3]a_1 x^2 + a_2 x + a_3 = 0[/tex3]

Para que ela tenha 2 raízes reais, [tex3]\Delta > 0[/tex3], ou seja:

[tex3]a_2^2 - 4.a_1.a_3 > 0[/tex3]

Substituindo pelas primeiras relações:

[tex3](1 + r)^2 - 4.1.(1 + 2r) > 0[/tex3]
[tex3]1 + 2r + r^2 - 4 - 8r > 0[/tex3]
[tex3]r^2 - 6r - 3 > 0[/tex3]

Agora temos uma inequação do segundo grau, e vamos ver para quais valores de [tex3]r[/tex3] temos esta inequação resultando valores positivos:

Calculando as raízes:

[tex3]\Delta = 6^2 - 4.1.(-3) = 36 + 12 = 48[/tex3]
[tex3]r = \frac{ 6 \pm\sqrt{48}}{2}[/tex3]
[tex3]r_1 \approx -0,46[/tex3]
[tex3]r_2 \approx 6,46[/tex3]

Como o coeficiente de [tex3]r^2[/tex3] é positivo, temos uma parábola de concavidade para cima, então a inequação é positiva para valores abaixo de [tex3]r_1[/tex3] e acima de [tex3]r_2[/tex3], e como queremos que [tex3]r[/tex3] seja positivo, temos que pegar o próximo inteiro positivo maior que [tex3]6,46[/tex3], o que nos dá que [tex3]r = 7[/tex3]

Parábola r^2 - 6r - 3

r.png (15.76 KiB) Exibido 3662 vezes

Assim, [tex3]a_1 + a_2 + a_3 = 1 + 8 + 15 = 24[/tex3]

A resposta é [tex3]24[/tex3].