Pré-Vestibular ⇒ (MAPOFEI - 1972) Progressão Geométrica Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Em uma cuba contendo água pura, são adicionados 6 litros de uma solução de 64% (em volume) de álcool, sendo o restante água. Após a mistura, uma quantidade igual (6 litros) de solução é retirada. Quanta água havia originalmente na cuba, se após realizar essa operação 3 vezes, a cuba passou a conter uma solução com 37% (em volume) de álcool e o restante água ?

a) 22 litros
b) 30 litros
c) 42 litros
d) 18 litros
e) NDR

Resp. Gab. - d

[fabit]

Comecei a fazer e me compliquei. Vou refazer, começando de modo literal.

Seja [tex3]p[/tex3] a fração de álcool, em volume, daqueles 6 litros. A fração de água é [tex3]1-p[/tex3]. Aliás, os 6 livros eu vou genelarizar para [tex3]v[/tex3] e os 37% para [tex3]L[/tex3].

A cuba tem volume [tex3]x[/tex3], que é o nosso objetivo.

Ao misturar os [tex3]x[/tex3] com os [tex3]v[/tex3] litros, as quantidades de álcool e água, respectivamente, passam a ser [tex3]pv[/tex3] e [tex3]x+(1-p)v[/tex3], e o volume total é [tex3]pv+x+(1-p)v=x+v[/tex3].

Depois de homogênea, retira-se da nova mistura o volume [tex3]v[/tex3], voltando a cuba a guardar [tex3]x[/tex3]. Isso se controla multiplicando as quantidades pela fração [tex3]q=\frac{x}{x+6}[/tex3].

São 3 repetições da operação de misturar e tirar. A quantidade de álcool na cuba segue a sequência abaixo:
[tex3]0\rightarrow pv\rightarrow qpv\rightarrow qpv+pv=pv(1+q)\rightarrow qpv(1+q)=pv(q+q^2)\rightarrow pv(q+q^2)+pv=...[/tex3]
[tex3]...=pv(q^2+q+1)\rightarrow qpv(q^2+q+1)=qpv\frac{1-q^3}{1-q}[/tex3]

Isso iguala com [tex3]Lx[/tex3]

[tex3]Lx=\frac{pv(\frac{x}{x+6}-\(\frac{x}{x+6}\)^4)}{1-\frac{x}{x+6}}[/tex3]
[tex3]Lx\frac{6}{x+6}=pv(\frac{x}{x+6}-\(\frac{x}{x+6}\)^4)[/tex3]

Multiplico por [tex3](x+6)^4[/tex3]:
[tex3]6Lx(x+6)^3=pv(x(x+6)^3-x^4)[/tex3]
[tex3]6L(x^4+18x^3+108x^2+216x)=pv(18x^3+108x^2+216x)[/tex3]
Divido por [tex3]x[/tex3]:
[tex3]6Lx^3+108Lx^2+648Lx+1296L=18pvx^2+108pvx+216pv[/tex3]
[tex3]6Lx^3+(108L-18pv)x^2+(648L-108pv)x+1296L-216pv=0[/tex3]
Substituindo:
[tex3]6.0,37x^3+(108.0,37-18.0,64.6)x^2+(648.0,37-108.0,64.6)x+1296.0,37-216.0,64.6=0[/tex3]
[tex3]2,22x^3+(39,96-69,12)x^2+(239,76-414,72)x+479,52-829,44=0[/tex3]
[tex3]2,22x^3-29,16x^2-174,96x-349,92=0[/tex3]

Amanhã eu termino isso. Cruz credo!

[fabit]

Nada disso!

Vou ajeitar a lambança que fiz.

Na hora de reduzir do volume x+v para x, multiplica-se pela fração que chamarei de q: [tex3]q=\frac{x}{x+v}[/tex3].

Primeiro vou calcular esse q e depois sumir com ele para achar o x.

Volume de álcool segue:
[tex3]0\rightarrow pv\rightarrow qpv\rightarrow qpv+pv=pv(1+q)\rightarrow qpv(1+q)=pv(q+q^2)\rightarrow...[/tex3]
[tex3]...\rightarrow pv(q+q^2)+pv=pv(1+q+q^2)\rightarrow qpv(1+q+q^2)[/tex3]

Isso iguala com [tex3]Lx[/tex3]. Agora faço diferente do que fiz antes. Em vez de eliminar q pra achar logo o x, a equação fica mais simples tirando o x em função de q:
[tex3]q=\frac{x}{x+v}\Rightarrow q(x+v)=x\Rightarrow qx+qv=x\Rightarrow qv=x-qx=x(1-q)[/tex3]
[tex3]x=\frac{qv}{1-q}[/tex3]

Voltando, fica [tex3]p\cancel{qv}(1+q+q^2)=\frac{L\cancel{qv}}{1-q}[/tex3].

Em cruz, [tex3]p(1-q)(1+q+q^2)=L\Rightarrow1-q^3=\frac{L}{p}[/tex3]

Logo [tex3]q^3=1-\frac{L}{p}\Rightarrow q=\sqrt[3]{1-\frac{L}{p}}[/tex3]

Já podemos substituir os valores: L=0,37 e p=0,64
[tex3]q=\sqrt[3]{1-\frac{37}{64}}=\sqrt[3]{\frac{64-37}{64}}=\sqrt[3]{\frac{27}{64}}=\frac{3}{4}[/tex3]

Como v=6, temos [tex3]x=\frac{\frac{3}{4}\times6}{1-\frac{3}{4}}=18[/tex3]

Fica pro leitor a prova real.

[hygorvv]

Em uma cuba contendo água pura, são adicionados 6 litros de uma solução de 64% (em volume) de álcool, sendo o restante água. Após a mistura, uma quantidade igual (6 litros) de solução é retirada. Quanta água havia originalmente na cuba, se após realizar essa operação 3 vezes, a cuba passou a conter uma solução com 37% (em volume) de álcool e o restante água ?

a) 22 litros
b) 30 litros
c) 42 litros
d) 18 litros
e) NDR

Resp. Gab. - d

note que ha uma diluição da solução
[tex3]x\%=\frac{384}{V+2,16}[/tex3] de alcool diluído
[tex3]y=\frac{3,84}{V+6}[/tex3] ou seja, a cada litro de soluçao, temos [tex3]\frac{3,84}{V+6}L[/tex3] de alcool
como são [tex3]18L[/tex3] retirados, serão retirados [tex3]18.\frac{3,84}{V+6}=\frac{69,12}{V+6}[/tex3] L
o restante, constitui [tex3]37\%[/tex3] da solução restante
[tex3]3,84-\frac{69,12}{V+6}----37\%[/tex3]
[tex3]V-12 ----------------100\%[/tex3]
[tex3]384-\frac{6912}{V+6}=37V-444[/tex3]
[tex3]384V+2304-6912=37V^{2}-444V+222V-2664[/tex3]
[tex3]37V^{2}-606V+1944=0[/tex3]


espero que seja isso