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Prove que [tex3]1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = ( 1 + 2 + 3 + \ldots + n )^2[/tex3].

Vejamos esse triângulo:

• [tex3]\begin{array}{llll}
  1&&&\\
  3 & 5& &\\
  7 & 9 & 11\\
  13 & 15& 17 & 19\\
  & & & \\
  \ldots& & &\end{array}[/tex3]

Podemos observar que:

• [tex3]1 = 1^3\\
  3 + 5 = 8 = 2^3\\
  7 + 9 + 11 = 27 = 3^3\\
  13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4^3\\
  \ldots[/tex3]

Pode-se provar que a soma dos elementos da [tex3]n[/tex3]-ésima linha desse triangulo vale [tex3]n^3.[/tex3] Eu não vou demonstrar aqui para não alongar demais o post. Mas, se alguem solicitar, eu colocarei a demonstração.

Sabendo que a linha número [tex3]n[/tex3] do triângulo corresponde a [tex3]n^3,[/tex3] temos que a soma [tex3](1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3)[/tex3] vale a soma das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas do triângulo.

Tendo em vista que os termos do triângulo estão em PA de razão [tex3]2,[/tex3] podemos encontrar o último termo da n-ésima linha, e assim teremos condições de encontrar a soma de todos os elementos das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas.

Como a linha [tex3]n[/tex3] do triângulo tem [tex3]n[/tex3] elementos, vamos encontrar o número [tex3]p[/tex3] de elementos das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas, utilizando a fórmula da soma dos termos de uma PA.

• [tex3]p =\frac{(1 + n)\cdot n}{2}[/tex3]

O último elemento [tex3]x[/tex3] da linha [tex3]n[/tex3] vale:

• [tex3]x = 1 + (p - 1)\cdot 2[/tex3]

Resolvendo, encontramos que

• [tex3]x = (n + 1)\cdot n - 1[/tex3]

Sendo assim, a soma [tex3]S[/tex3] dos elementos das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas do triângulo vale:

• [tex3]S = \frac{(1 + x)\cdot p}{2}[/tex3]

Logo,

• [tex3]S = \frac{(n + 1)\cdot n\cdot (n + 1)\cdot n}{4} = \left[\frac{(n + 1)\cdot n}{2}\right]^2[/tex3] (I)

Mas, da soma dos termos de uma PA, temos que

• [tex3](1 + 2 + 3 + \ldots + n) =\frac{(n + 1)\cdot n}{2}[/tex3] (II)

Substituindo II em I:

• [tex3]S = (1 + 2 + 3 + \ldots + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3[/tex3]

c.q.d.

• [tex3]1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3=\sum_{k=1}^nk^3[/tex3]
  
  [tex3](k+1)^4=k^4+4k^3+6k^2+4k+1[/tex3]

Tomando somatórios em ambos os lados da igualdade, vem

• [tex3]\sum_{k=1}^n(k+1)^4=\sum_{k=1}^nk^4+4\cdot \sum_{k=1}^nk^3+6\cdot \sum_{k=1}^nk^2+4\cdot \sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1.[/tex3]

Como

• [tex3]\sum_{k=1}^n(k+1)^4=\sum_{k=2}^nk^4+(n+1)^4,[/tex3]
  
  [tex3]\sum_{k=1}^nk^4=1+\sum_{k=2}^nk^4,[/tex3]
  
  [tex3]\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6},[/tex3]
  
  [tex3]\sum_{k=1}^nk=\frac{(n+1)\cdot n}{2}\text{ e}[/tex3]
  
  [tex3]\sum_{k=1}^n1=n,[/tex3]

temos

• [tex3]\sum_{k=2}^nk^4+(n+1)^4=1+\sum_{k=2}^nk^4+4\cdot \sum_{k=1}^nk^3+6\cdot \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}+4\cdot \frac{(n+1)\cdot n}{2}+n[/tex3]

• [tex3]4\cdot \sum_{k=1}^nk^3=(n+1)^4-1-n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)-2n\cdot(n+1)-n[/tex3]

• [tex3]\sum_{k=1}^nk^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left[\frac{(n+1)\cdot n}{2}\right]^2=(1+2+3+\ldots+n)^2.[/tex3]