IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1952) Geometria Espacial

[ALDRINMOD]

Um círculo circunscrito a um hexágono regular de raio igual a [tex3]R[/tex3] gira em torno de um diâmetro que passa por dois vértices do hexágono. Estabelecer a relação entre os volumes gerados pelo círculo e pelo hexágono.

Resposta

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[tex3]\frac{2}{3}\sqrt3[/tex3].

[Natan]

Olá,

lembrando inicialmente que para o hexágono regular inscrito teremos a medida do lado igual a medida do círculo.

quando o círculo girar teremos uma esfera de raio [tex3]R,[/tex3] cujo volume é [tex3]V_1=\frac{4{\pi}R^3}{3}.[/tex3]

quando o hexágono girar teremos um cilindro acoplado a dois cones de mesmo volume. Note que o diâmetro tanto do cilindro quanto dos cones será o dobro da altura de um triângulo equilátero de lado [tex3]R,[/tex3] que é [tex3]D=R{\sqrt3}.[/tex3] A altura do cilindro será a medida do lado do hexágono, portanto [tex3]h_1=R.[/tex3]

Já a medida da altura [tex3]h_2[/tex3] do cone será dada por Pitágoras, sendo [tex3]R[/tex3] a hipotenusa e [tex3]h_2\, e\, \frac{R\sqrt3}{2}[/tex3] os catetos:

[tex3]R^2=h_2^2+\frac{3R^2}{4} \Rightarrow h_2=\sqrt{\frac{R^2}{4}}=\frac{R}{2}[/tex3]

Assim o volume do cilindro será:

[tex3]V_2=\frac{3R^2}{4}.R=\frac{3R^3}{4}[/tex3]

calculando simultâneamente os volumes dos cones teremos:

[tex3]V_2^{'}=2[\frac{1}{3}.\frac{3R^2}{4}.\frac{R}{2}]=\frac{R^3}{4}[/tex3]

Daí o volume do sólido gerado pelo hexágono será:

[tex3]V=V_2+V_2^{'}=\frac{3R^3}{4}+\frac{R^3}{4}=R^3[/tex3]

No caso eu acho que estava pedindo a razão certo?, se for lá vai:

[tex3]\frac{V_1}{V}=\frac{4}{3}[/tex3]

o que eu errei?